寒假day6 2.7_2

讲师：施开成，CTSC rk6!!!

数学

01分数规划

USACO18OPEN

二分答案，转化答案，发现 \(\sum(w_i-ct_i)\ge 0\)

随后背包解决问题。

数论

模 \(p\) 意义：忽略一个数的具体值，只关心在对 \(p\) 做除法后的余数。

对于模合数，一定要避免除法。

逆元

将 \(\frac{a}{b}\) 视为 \(a\times(\frac{1}{b})\)。

\(a\) 的逆元就是在模意义下的倒数。

互为逆元的数乘积为 \(1\)。

威尔逊定理

对于质数 \(p\)，存在 \(1\times 2\times\ldots\times (p-1)=-1(\mod p)\)

费马小定理

对于质数 \(p\) 和 \(a\ne 0(\mod p)\) ，有 \(a^{-1}=1(\mod p)\)

所以可以快速幂计算出逆元。

欧拉定理

对于合数处理逆元。

\(\phi(p)\) 定义为 \(1\sim p\) 与 \(p\) 互质的数的个数。

对于任意正整数 \(p\ge 2\) 和任意 \(a\) 满足 \(\gcd(a,p)=1\)，有 \(a^{\phi(p)}=1(\mod p)\)

对于 \(p\) 为质数，可以发现就是费马小定理。

考虑用费马小定理的方法证明。

线性预处理逆元

\(O(n)\) 求出所有数在 \(\mod p\) 的逆元。

递推公式

P3811

预处理阶乘逆元

可以递推计算。

线性时间复杂度。

推广，可以在 \(O(n+\log q)\) 的时间内求出 \(a_1,a_2\ldots,a_n\) 中每一个数的逆元。

预处理前缀积和前缀积逆元，blabla

矩阵

向量：一个 \(n\) 维向量就是由 \(n\) 个数构成的有序序列。

向量加法：长度相同向量中的每个元素都对应加。

转置：横竖换一下，右上角标 \(T\)

矩阵：\(A_{i,j}\)

矩阵与向量进行乘法。

列数与行数相同。

真tm抽象

线性变换

从向量到向量的变换是线性的。

映射。

一个矩阵可以描述一个线性变换。

一个 \(n\times m\) 的矩阵和 \(m\times p\) 的矩阵可以进行乘法，得到 \(n\times p\) 的新矩阵。

problem 3.0.1 连分数

听不懂

线段树维护矩阵乘积

矩阵乘法描述变换的复合。

矩阵乘法：\(C_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^mA_{i,k}\times B_{k,j}\)

满足结合律

定义 \(n\) 阶方阵描述 \(n\times n\) 的矩阵，矩阵快速幂复杂度 \(O(n^3\log k)\)

\(\max(a,b)+c=\max(a+c,b+c)\)

\(\max\) 不能求逆。

矩阵快速幂可以算经过 \(k\) 条边后的最短路。

听不懂。

组合数

总之很抽象。

但是 A+B

二项式定理

\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n(n,i)a^ib^{n-i}\)

插板法

problrm 4.1.1

球一样，盒子不一样。

放 \(m-1\) 个挡板，其实就是 \((n+m-1,n)\)，有 \(n+m-1\) 个东西，把其中 \(n\) 个当做球。

容斥

不考虑老师相邻时，可以把老师看做男生。

否则把两个老师看做一个老师。

满足 \(n\) 个限制 \(\rightarrow\) 一些限制不满足，其余限制随意。

硬币购物

总之容斥

概率

离散概率：\(\sum_{omg\in OMG}P(omg)=1\)

期望

发生概率乘上事件的值。

越来越趋近于试验的平均结果。

期望的和=和的期望

P5104

直接看 ppt

小 A 抛硬币

令 \(f_x\) 代表已经连续抛出了 \(x\) 个 \(1\)，期望再抛几次能完成要求，显然答案为 \(f_0\)。

考虑抛下一个硬币，如果抛到正面会转移到 \(f_{x+1}\)，否则转移回 \(f_0\)。

即 \(f_x=\frac{f_{x+1}+f_0}{2}+1\)

边界 \(f_n=0\)

对于递推式子，不把 \(f_0\) 视为常数，解方程，回代。

小 A 抛骰子

听不懂。

博弈论

原理参见 dp 的笔记。

分裂游戏

对每一颗豆分开考虑。

然后 blabla 即可。

exgcd

CRT

合并方程：

\(x=a(\mod b),x=c(\mod d)\rightarrow x=()(\mod 15)\)

\(x=bp+a=dq+c\)

对于 \(ax+by=1\)，\(a,b\) 与 \(x,y\) 同数据类型。

可以求逆。

回到CRT

拉格朗日插值？？？