寒假day6 2.7

图论

割点，割边

如果删去一点，整个图的连通块数量增加，即是割点。

只有环上的边不是割边。

tarjan

dfs 树上不存在横叉边，只有反祖边。

判断一点是否是割点

对于一点，判断它的子树中是否有能连接到该点上方的返祖边。

记录 \(low_y\) 代表子树中能回溯到的最小的 dfn 值。

判断：\(low_n>dfn_x\)

注意对于根节点，必须有超过一个儿子才为割点。

求割边

与割点同理。

\(low_y>dfn_x\)

其中，要判断 \((x,y)\) 是否是割边，\(x\) 是 \(y\) 的父亲。

显然，非树边一定不是割边。

重边情况

特殊处理一下即可。

点双，边双

边双：对于一个子图，没有任何割边。

显然，边双彼此之间以割边相连。

一个边双?

点双

任何一个点删去后都不影响连通性。

一个点可能分属多个点双。

SCC

环是什么？

若 \(x\) 可达 \(y\)，且 \(y\) 可达 \(x\)，则称其强联通。

强联通具有传递性

对 SCC 进行缩点后，会变成一个 DAG。

注意，在有向图的 dfs 中存在横叉边。

• 非树边：完全没有

• 返祖边：有用

• 横叉边：部分有用

用栈来维护 SCC。

如果存在返祖边，SCC会变大。

横叉边：假设 \(x\rightarrow y\) 是一条横叉边，若 \(y\) 在 LCA 的一个 SCC 里，就是有用的，此时等价于返祖边；否则没用。

类似割边。

把最浅的点视为代表点。

注意，此时 low 要维护在栈中的最小 dfn。

用 low 来实现隐式合并。

P3469

求每个点是不是割点后统计把 dfs 树分成了几部分，排列组合统计。

P1407

尝试给边加上方向，如果是夫妻关系：男 $\rightarrow $ 女，情人：女 \(\rightarrow\) 男。

看一下每对关系是不是在一个强联通分量。

UOJ67

考虑树是 \(n\) 个点，\(n-1\) 条边的连通图。

连通：不是割点

边数：自己判

P3225

sb计数题

缩点后会形成一棵树。在每一个叶子都建一个出口。

至于为什么会形成一棵树？

缩完以后如果不是树，则证明有环（无向图），于是可以再缩。

二分图

选出一些边，使得没有共同节点。

增广路/匈牙利算法

从一个匹配点出发，经过一条匹配边，再经过一条非匹配边，……，最后到达一个非匹配点。

如果存在这样的增广路，一定能使答案增大。

P2055

把床建在左部，人建在右部，按照能不能睡连边，进行最大匹配。

P4304

最小点覆盖

选择最少的点使得每条边都能选中。

做法看ppt。

最大独立集

最小点覆盖的补集。

对网格图进行二分图染色。

发现马攻击的位置一定与自己颜色不同。

把具有攻击关系的点连边，对二分图求最大独立集。

P1129

每一行建点，每一列建点，如果 \((x,y)\) 是黑色，则把 \(x\) 和 \(y\) 连边。

结论：如果有解，则是完美匹配。

不会证明。

网络流

源点 \(S\)，汇点 \(T\)。

\(\sum_{e\in in}=\sum_{e\in out}\)。

最大化 \(\sum_{e\in{S}}\)。

后面没听懂。

如果找不到增广路，就是最大流（？）

EK

Dinic

dinic:\(O(n^2m)\)，但复杂度玄学。

最大流最小割

二分图匹配转网络流

时间复杂度 \(O(m\sqrt{n})\)

圆桌问题

试题库问题

最小路径覆盖问题

拆点

最长不下降子序列问题

拆点