数学
本文将尽量包含所有省选范围内的数学知识。
本文会涉及到的数学模块：
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基础数学
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初等数论
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排列组合
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概率与期望
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线性代数
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多项式相关
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博弈论
前置知识
进制转化
相信读者已经掌握了最基本的进制转换方法，接下来将简单说明十进制转换二进制的正确性。
对于十进制数 \(x\)，我们会将 \(x&1\) 作为对应二进制数的最低位，接着令 \(x\leftarrow \lfloor\frac{x}{2}\rfloor\)。
可以发现，\(x&1\) 即是求 \(x\) 二进制下的最低位，接下来的右移操作，则是将问题规模缩小，变成一个相同的子问题，由于之前已经经历过 \(y\) 次右移，此时得到的最低位经过 \(y\) 次左移应该变成二进制下的第 \(y\) 位。
位运算相关
首先给出补码的定义：在计算机中，非负数的补码为其本身，负数补码为其二进制下按位取反后 +1 得到的结果。
负数不能执行左移操作。
数论
整除
\(a,b\in Z,a\ne 0,\exists q\in Z\) 使得 \(b=aq\)，我们就称 \(a|b\)。
关于整除的性质，都较为显然，读者或许可以在需要时自行推理得出。
平凡因数：对于 \(b\in Z\)，把 \(\pm 1,\pm b\) 称为 \(b\) 的平凡因数。
素数相关
严格判定这里不再叙述。
素性测试：一种不对素数进行分解而判定的方法。
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确定性测试，顾名思义。
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概率性测试，利用随机算法判定素数，对于判定为素数，实际为合数的数，称为伪素数。
最大公因数相关
Euclidean algorithm
通常称为“辗转相除法”，接下来将证明该算法基本定理 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b)\)。
我们主要基于 \(a\in b,b\in a\rightarrow a=b\) 进行证明。
令 \(a\geq b\)，设 \(a=bk+c\)，显然 \(c=a\mod b\)；设 \(d|a,d|b\)，\(\frac{a}{d}-k\times\frac{b}{d}=\frac{c}{d}\rightarrow d|c\)，即 \(d|a\mod b\)，又因为 \(d|a,d|b\)，所以对于任意 \(d|a,d|b\)，存在 \(d|b,d|a\mod b\)
同理，可得对于 \(d|b,a\d|a\mod b\)，存在 \(d|a,d|b\)。综上，得证。
该定理的基本实现相信读者已经知晓。
更相减损法
咕
exgcd
求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\)，其中 \(a,b\) 为常数。
当 \(b=0\) 时，\(\gcd(a,0)=a\) （回想一下利用辗转相除法的最后一层）。此时 \(ax+0\times y=a\)，容易发现 \(x=1\)，\(y\) 取任意值。
借助欧几里得算法的思想，发现 \(\gcd(a,0)\) 正是递归的最后一层，考虑倒数第二层的求法。设倒数第二层为 \(\gcd(a,b)\)，把最后一层改为 \(\gcd(b,a\mod b)\)，要求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\)，发现 \(bx'+y'\times (a\mod b)=\gcd(b,a\mod b)\)，接下来进行推导。
结合这两个式子来看：
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\(ax+by=\gcd(a,b)\)
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\(ay'+b(x'-y'\times\lfloor\frac{a}{b}\rfloor)=\gcd(b,a\mod b)\)
得到 \(x=y',y=x'-y'\times\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\)。
现在问题转变成了求解 \(x',y'\)。
根据刚才对于最后一层的求解，我们已经可以求出该层的答案。注意在最后一层中，\(y\) 为任意值，这里尽量取 \(0\)。
于是我们这样递归求解，即可得到一组合法的解。
