寒假day2 2.3 ds

讲师：杨宁远，NOI2022Au，rk20，from 成都七中

DS

• STL

• LCA（倍增、欧拉序、四毛子优化欧拉序）

• 四毛子

• 笛卡尔树（四毛子求RMQ）

• 二叉堆

• 启发式合并

• 左偏树

• 树状数组

• 线段树

• 哈希

• 字典树

• Splay

• Treap

• 替罪羊树

list

auto 定义指针。

*i 访问元素。

prev(i) next(i) 访问前驱、后继的值。

rbrgen rend 含义相反。

front back 放回头元素和尾元素。

insert(iterator,value)，会在迭代器前插入元素。

erase(iterator)，删除元素。

a.swap(b)：O(1)

merge 把两个有序的 list 合并。a.merge(b)

vector

a.resize(n)，强制把 a 的大小变成 \(n\)。往后加 \(0\)。

原理：倍增数组

删除元素空间不会变小。

shrink_to_fit 强制把空间变为 fit ，O(元素个数)

支持随机类型访问

insert erase O(后面元素个数)

a.swap(b) O(1)

set

要求给定元素可以比较

结构体内自定义排序

bool operator <(const node &x)const{

}

erase(值或迭代器)

find(值) 返回迭代器 不存在——set.end()

count(值) 返回0/1

lower_bound upper_bound 返回迭代器

复杂度 \(O(\log)\)。

multiset

count(值) 复杂度 O(log+元素个数)。

unordered_set

C++11 哈希实现

无序 复杂度 O(1)

map/unordered_map

访问空下标会创建元素 应该用 mp.find(x)==mp.end()) 进行判断

lower_bound upper_bound 返回迭代器

queue

空间常数大。

a.swap(b) O(1)

deque

时空常数巨大

底层实现用两个 vector 拼接起来

存在 shrink_to_fit

支持下标访问

建议用 list 或自己实现 deque

priority_queue

本质是二叉堆，实现是 vector

加入删除复杂度 \(O(\log)\)，常数小。类似 BIT。

ST表与RMQ

\(f_{i,k}=min(a_{i\sim i+2^k-1})\)

递推：\(f_{i,k}=min(f_{i,k-1},f_{i+2^{k-1},k-1)\)

询问：\(min(f_{l,k},f_{r-2^k+1,k-1})\)

可以用于区间线性基。

__lg(x) 返回 \(\lfloor\log x\rfloor\)。

倍增求LCA

\(p_{u,k}\) 表示 \(u\) 往上跳 \(2^k\) 步到哪。

\(p_{u,k}=p_{p_{u,k-1},k-1}\)

把较深的跳到同一高度。

注意判断跳完以后是不是一个点。

只要不会相遇就一直跳。

最后多跳一步。

RMQ求LCA

记录 dfs 序（可重）。

记录每个节点的 dfn

两个节点的 LCA 一定在欧拉序中两点 dfn 中间一段区间，是深度最小的。

用 ST 表解决（深度最小 \(\rightarrow\) RMQ）。

预处理 \(O(n\log n)\) 询问 \(O(1)\)

四毛子求LCA

+1-1RMQ

分块，分 \(\log n/2\) 块。

可以发现，欧拉序相邻的深度差为 \(1\)，利用四毛子。

\(O(n)\) 预处理，\(O(1)\) 查询。

笛卡尔树

不断找最小值，把区间分裂，划分左右子树。

增量法规建笛卡尔树。

假设求出了 $1\sim i $ 的笛卡尔树，可以发现，\(i\) 号点一定在最靠右的链上，且一定没有右儿子，根据定义，这是显然的。

不可能是某个时刻走左儿子得到的。

建树

如果 \(i+1\) 号比 \(i\) 号大，右儿子。

如果小，往上跳，直到跳到某个点比 \(i+1\) 号大。

对于这个点，令 \(i+1\) 号为它的右儿子，原来的儿子链为 \(i+1\) 号的左儿子。

均摊线性。

性质：lca为区间最值。

构建的本质：维护右链。

四毛子求RMQ？

upd:

二叉堆

insert：向上更新。

erase：将根节点与数组最后一个叶子节点交换后向下调整。

应用：排序 动态维护最值

中位数

用两个堆 small large

不断维护大小平衡

始终尽量维护 small.size()<=large.size()<=small.size()+1

序列合并

二分做法:二分前 \(N\) 小的数中最大的一个，发现对于 \(a_i\) ,合法的 \(j\) 单调不降，双指针做。

堆：对每一个 \(a_i\) 加上 \(b_1\) 后放入堆里，对于最优的求出后继状态（把 \(b_j\) 向右扩展），放入堆里。

左偏树

特殊的二叉堆。

dist:从一点走右链能走多少步

左儿子的 dist 大于右儿子的 dist 。

右链是 \(\log\) 级别。

类似完全二叉树向左偏，而完全二叉树的右链是 \(\log\) 的。

启发式合并

将 \(n\) 个堆合并，复杂度是 \(O(n\log^2 n)\)。

左偏树的合并是严格 \(\log\) 的。

int merge(int x,int y){
    if(!x | !y) return x | y;
    if(val(x) > val(y)) swap(x, y);
    r(x) = merge(r(x), y);
    if(dst(l(x)) < dst(r(x))) swap(l(x), r(x));//保证满足左偏树的性质
    dst(x) = dst(r(x)) + 1;
    return x;
}

不会左偏树。

从归并排序的角度考虑合并

罗马游戏

对每个人用并查集维护在哪个团，用左偏树维护团。

删除堆顶元素：合并左子树、右子树，标记死亡。

Monkey King

通过此题观察左偏树类题的特征：往往类似于并查集，但一般会查询并查集内最值，并对最值有所更改，这是并查集无法维护的，所以会采用左偏树维护。

武力值减小可以视作把原武力值删去，加入一个原武力值一半的节点。

树状数组

\(i\) 号节点维护 \(i-2^{lowbit(i)}+1\sim i\) 的总和。

令所有 \(i\oplus 2^t\) 成为 \(i\) 的儿子（\(t<lowbit(i)\)）。

区间加、区间求和

问题：区间价，查询前缀和

令 \(b_i=a_i-a_{i-1}\)，当区间加时，发现 \(b_l+=v,b_{r+1}-=v\)。

可以发现，\(b_1+b_2=a_1-a_0+a_2-a_1=a_2\)。

所以，\(a_i=\sum\limits_{j=1}^ib_j\)。

考虑查询前缀和。

发现：

\(s_i=\sum\limits_{j=1}^ia_j=\sum\limits_{j=1}^i\sum\limits_{k=1}^jb_k\)。

发现 \(b_k\) 产生了 \(i-k+1\) 次贡献。

所以 \(s_i=\sum\limits_{j=1}^ib_j\times (i-j+1)=\sum\limits_1^ib_j\times (i+1)-\sum\limits_1^ib_j\times j\)。

维护 \(b_j\times j\)

二维树状数组

loj133

单点加，矩形查。

没听。

也可以矩形加，矩形查。

线段树

必须满足标记具有分配律。

方差

维护区间和 & 区间平方和。

维护区间平方和时，采取完全平方公式展开后提取公因式发现一个比较容易维护的式子。

哈希

追求 \(O(1)\) 修改，\(O(1)\) 查询。

取一个不规则的函数，使得 \(f(data)\rightarrow 0\le int\le 10^6\)。

取模是一个常见的哈希函数。

对于字符串，取 base ，使字符串变成 base 进制下的数：\(f(s)=\sum\limits_0^n(s_i-'a'+1)\times base^i\)。

太大可以取模。

如果数据个数过多，会发生哈希冲突。

对于 \(a\ne b\)，存在 \(f(a)=f(b)\)。

\(\sqrt{n}\) 落在 \(n\) 的范围内，存在大概 \(\frac{1}{2}\) 的概率使得存在冲突。

ln 的求和可以泰勒展开（求导）或微积分。

面对冲突，应人为修改 \(f()\)。

字符串哈希

比较 \(l\sim r\) 和 \(l_1\sim r_1\) 是否相同。

双哈希：取 \(p_1\) 和 \(p_2\) ，记录 pair ，fi 表示对 \(p_1\) 取模的结果，se 表示对 \(p_2\) 取模的结果。

自然溢出：易卡。

字符串哈希需要选取两个质数进行双哈希。

cc_hash_table gp_hash_table

unordered_map 较慢。

loj DNA序列

如果 \(k=100\) 需要双哈希，声称两个子串相等当且仅当 \(%p_1\) 相等且 \(%p_2\) 相等。

区间 \(\times -1\) ，求区间最大子段和

竟然上课口胡出来了

维护区间最大和、左起最大和、右起最大和、区间最小和、左起最小和、右起最小和，考虑合并。

面对 \(-1\)，考虑最大和变成最小和，最小和变成最大和。

字典树

每条边挂一个字符。

构建考虑对于一个字符串，从上到下来走，如果对于一个字符走不到，就新建。

建议参考 OI-Wiki 。

Secret Message G

考虑对于信息建字典树，并且记录有多少信息在节点截止以及有多少信息经过节点。对于暗号，从树根向下走，统计经过多少完整信息（路径上节点权值之和），当截止后，统计有多少信息经过那个点，两者相加即为答案。

平衡树

参考

！！！

平衡二叉查找树，尽可能把二叉树两棵子树大小平衡一下。

Splay Treap 替罪羊树 红黑树 AVL（没用）

最常用：Treap

Splay 只有在 LCT 中用到

替罪羊树只有在 K-DT中用到

Splay

通过不断将节点旋转，使得仍满足 BST。

不能持久化。

\(O(\log n)\)

旋转本质：某个节点上移一个位置。

保证：

• 中序遍历不变

• 信息正确有效

• root指向旋转后的根

左旋：左边变成右边

右旋相反

maintain 类似 push_up

Splay 操作：不断对一个节点 rotate

Treap

treap=tree+heap

treap 每个节点额外存储一个关键值，根据关键值调整结构。

如果随机生成关键值，树高期望 \(O(\log)\)。

合并 \(O(\log)\)。

fhq-Treap

核心：分裂、合并

merge：合并两个 treap

先决条件：\(i\in x,j\in y,i<j\)

split:一个 treap 分裂成两个

自己看吧

替罪羊树

用于 KDT

文艺平衡树

以每个数下标作为关键字

先 split(l-1)->split(r)->打tag 子树翻转

kmp

对于 \(1\sim i\)，求出 \(nxt_i\)，即最大的 \(k\) 满足 \(k\le i,1\sim k=i-k+1\sim i\)。

\(nxt_{i+1}\leq nxt_i+1\)

动物园

• 没听