ABC338 F

观察到 $n$ 的范围不大，考虑状压。

$d p_{i, S}$ 表示在经过顶点集合状态为 $S$ 的情况下，终点为 $i$ 的最小步数。

错误示范：

考虑对于状态 $S$ ，直接遍历经过的顶点 $i$ ，枚举 $i$ 的出边进行转移。

  
#include<bits/stdc++.h>
 
typedef long long LL;
typedef std::pair<int,int> pii;
 
#define fi first
#define se second
#define ok putstrln("OrzFinderHT")
//#define check_time printf("%.8f\n",clocks()/CLOCK_PER_SEC)
 
template<typename T>
void abs(T &N){
	if(N>=0) N=N;
	else N=-N;
}
 
namespace G_{
	template<typename T>
	inline void read(T &a){
		a=0;
		int f=1;
		char c=getchar();
		while(c<'0'||c>'9'){
			if(c=='-') f=-1;
			c=getchar();
		}
		while(c>='0'&&c<='9') a=a*10+(int)(c-'0'),c=getchar();
		a*=f;
	}
	inline void get_enter(){
		getchar();
	}
	inline void get_str(std::string &str){
		char c=getchar();
		while(c!=' '&&c!='\n') str+=c,c=getchar();
	}
	template<typename T>
	inline void putN(T N){
		char stk[70];
		short top=0;
		if(N<0) putchar('-'),abs(N);
		do{
			stk[++top]=(char)(N%10+(int)'0');
			N/=10;
		}while(N);
		while(top) putchar(stk[top--]);
	}
	template<typename T>
	inline void putsp(T N){
		putN(N);
		putchar(' ');
	}
	template<typename T>
	inline void putln(T N){
		putN(N);
		putchar('\n');
	}
	inline void putstr(std::string str){
		int sz=str.size()-1;
		for(int i=0;i<=sz;i++) putchar(str[i]);
	}
	inline void putstrln(std::string str){
		putstr(str);
		putchar('\n');
	}
	inline void Yes(){
		putstrln("Yes");
	}
	inline void No(){
		putstrln("No");
	}
	template<typename T,typename I>
	inline void chkmin(T &a,I b){
		a=std::min(a,b);
	}
}
 
//using namespace get_give;
 
using namespace G_;
 
const LL maxn=25,maxs=1<<20,inf=1e9;
 
std::vector<pii>d[maxn];
 
LL dp[maxn][maxs];
 
signed main(){
	int n,m;
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		read(u),read(v),read(w);
		d[u].push_back({v,w});
	}
	int S=(1<<n)-1;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][(1<<(i-1))]=0;
	for(int s=1;s<S;s++)
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!((1<<(i-1))&s)) continue;
			for(auto q:d[i]){
//				if((1<<(q.fi-1))&s) continue;
				int g=s|(1<<(q.fi-1));
				chkmin(dp[q.fi][g],dp[i][s]+q.se);
//				printf("##%d %d %d %d !!%d\n",q.fi,g,i,s,dp[q.fi][g]);
			} 
		}
	LL ans=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++) chkmin(ans,dp[i][S]);//,printf("&&&%d %d\n",i,ans);
	if(ans==inf){
		printf("No");
		return 0;
	}
	printf("%lld\n",ans);
//	putN(ans);
	return 0;
}
/*
-读入字符一定检查回车
- 能不能搜索？
-函数要有返回值！
-想好了再写！
*/

由于存在值为负的路径，所以使得我们重复经过一些边可以让答案更优。比如对于 11010 ，我们的转移一定来自 11000 或 10010 或 01010 。但是注意，当我们在 11010 这个状态到达 #2 时，若连接 #2 和 #4 的边是负的，那么我们可以通过这条边，使得 11010 状态下代价变小。

那如果我们允许从一个访问过的点到达另一个访问过的点呢？

还是对于 11010 ，我们会按照 $2 \to 4 \to 5$ 的顺序来访问已知点，令 $w (i, j)$ 表示连接 $i$ 和 $j$ 两点的边的权值，如果 $w (5, 2) + w (2, 4) < 0$ ，那么我们又会得到一个更小的 11010 状态下的代价，但是遗憾的是，当我们由 $5$ 更新到 $2$ 时，无法再退回去进一步更新。

我们又想到，可以用队列记录可能更新其它状态的状态，类似 dij 那样，但是如果用队列处理，会导致时间复杂度过大。

但是发现，只会有三个点 TLE ，且时间只比时限多出 0.6s(link)，运用一些随机化技巧或许可以通过，可以自行尝试。

  
#include<bits/stdc++.h>
 
typedef long long LL;
typedef std::pair<int,int> pii;
 
#define fi first
#define se second
#define ok putstrln("OrzFinderHT")
//#define check_time printf("%.8f\n",clocks()/CLOCK_PER_SEC)
 
template<typename T>
void abs(T &N){
	if(N>=0) N=N;
	else N=-N;
}
 
namespace G_{
	template<typename T>
	inline void read(T &a){
		a=0;
		int f=1;
		char c=getchar();
		while(c<'0'||c>'9'){
			if(c=='-') f=-1;
			c=getchar();
		}
		while(c>='0'&&c<='9') a=a*10+(int)(c-'0'),c=getchar();
		a*=f;
	}
	inline void get_enter(){
		getchar();
	}
	inline void get_str(std::string &str){
		char c=getchar();
		while(c!=' '&&c!='\n') str+=c,c=getchar();
	}
	template<typename T>
	inline void putN(T N){
		char stk[70];
		short top=0;
		if(N<0) putchar('-'),abs(N);
		do{
			stk[++top]=(char)(N%10+(int)'0');
			N/=10;
		}while(N);
		while(top) putchar(stk[top--]);
	}
	template<typename T>
	inline void putsp(T N){
		putN(N);
		putchar(' ');
	}
	template<typename T>
	inline void putln(T N){
		putN(N);
		putchar('\n');
	}
	inline void putstr(std::string str){
		int sz=str.size()-1;
		for(int i=0;i<=sz;i++) putchar(str[i]);
	}
	inline void putstrln(std::string str){
		putstr(str);
		putchar('\n');
	}
	inline void Yes(){
		putstrln("Yes");
	}
	inline void No(){
		putstrln("No");
	}
	template<typename T,typename I>
	inline void chkmin(T &a,I b){
		a=std::min(a,b);
	}
}
 
//using namespace get_give;
 
using namespace G_;
 
const LL maxn=25,maxs=1<<20,inf=1e9;
 
std::vector<pii>d[maxn];
 
LL dp[maxn][maxs];
 
std::queue<pii>q;
 
signed main(){
	int n,m;
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		read(u),read(v),read(w);
		d[u].push_back({v,w});
	}
	int S=(1<<n)-1;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][(1<<(i-1))]=0,q.push({i,1<<(i-1)});
	while(q.size()){
		int s=q.front().se,i=q.front().fi;
		q.pop();
		for(int flag=1;flag;flag--){
			if(!((1<<(i-1))&s)) continue;
			for(auto qq:d[i]){
//				if((1<<(q.fi-1))&s) continue;
				int g=s|(1<<(qq.fi-1));
				if(dp[qq.fi][g]>dp[i][s]+qq.se) q.push({qq.fi,g});
				chkmin(dp[qq.fi][g],dp[i][s]+qq.se);
//				printf("##%d %d %d %d !!%d\n",q.fi,g,i,s,dp[q.fi][g]);
			} 
		}
	}
	LL ans=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++) chkmin(ans,dp[i][S]);//,printf("&&&%d %d\n",i,ans);
	if(ans==inf){
		printf("No");
		return 0;
	}
	printf("%lld\n",ans);
//	putN(ans);
	return 0;
}
/*
-读入字符一定检查回车
- 能不能搜索？
-函数要有返回值！
-想好了再写！
*/

参见：link

正确示范：

考虑用 floyd 先处理出来两点之间的最短路，然后不枚举连边，直接对所有点更新，可以避免上面那种情况。

但是，我们注意到如果从 $i$ 向 $j$ 更新，且两者不存在直接连边，那样就会经过一些没有访问过的点，这些点不会被记录进状态中，这样是否会造成答案错误？

显然是不会的，设当前状态为 $S$ ，按照我们的方法，能保证所有 $\leq S$ 的状态是正确的。对于后面的状态，经过感性理解可以发现也是没有影响的。

官方题解中先给出了一段看似显然的证明，或许意在利用 dp 的最优子结构性质来进行 dp ，但说明不够充分，大部分还需要感性理解。（~~显然，我的题解更适合作为官方题解~~）。

  
#include<bits/stdc++.h>
 
typedef long long LL;
typedef std::pair<int,int> pii;
 
#define fi first
#define se second
#define ok putstrln("OrzFinderHT")
//#define check_time printf("%.8f\n",clocks()/CLOCK_PER_SEC)
 
template<typename T>
void abs(T &N){
	if(N>=0) N=N;
	else N=-N;
}
 
namespace G_{
	template<typename T>
	inline void read(T &a){
		a=0;
		int f=1;
		char c=getchar();
		while(c<'0'||c>'9'){
			if(c=='-') f=-1;
			c=getchar();
		}
		while(c>='0'&&c<='9') a=a*10+(int)(c-'0'),c=getchar();
		a*=f;
	}
	inline void get_enter(){
		getchar();
	}
	inline void get_str(std::string &str){
		char c=getchar();
		while(c!=' '&&c!='\n') str+=c,c=getchar();
	}
	template<typename T>
	inline void putN(T N){
		char stk[70];
		short top=0;
		if(N<0) putchar('-'),abs(N);
		do{
			stk[++top]=(char)(N%10+(int)'0');
			N/=10;
		}while(N);
		while(top) putchar(stk[top--]);
	}
	template<typename T>
	inline void putsp(T N){
		putN(N);
		putchar(' ');
	}
	template<typename T>
	inline void putln(T N){
		putN(N);
		putchar('\n');
	}
	inline void putstr(std::string str){
		int sz=str.size()-1;
		for(int i=0;i<=sz;i++) putchar(str[i]);
	}
	inline void putstrln(std::string str){
		putstr(str);
		putchar('\n');
	}
	inline void Yes(){
		putstrln("Yes");
	}
	inline void No(){
		putstrln("No");
	}
	template<typename T,typename I>
	inline void chkmin(T &a,I b){
		a=std::min(a,b);
	}
}
 
//using namespace get_give;
 
using namespace G_;
 
const LL maxn=25,maxs=1<<20,inf=1e9;
 
std::vector<pii>d[maxn];
 
LL dp[maxn][maxs];
 
int dis[maxn][maxn];
 
signed main(){
	int n,m;
	read(n),read(m);
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		read(u),read(v),read(w);
		dis[u][v]=w;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=n;k++) chkmin(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); 
	int S=(1<<n)-1;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][(1<<(i-1))]=0;
	for(int s=1;s<S;s++)
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!((1<<(i-1))&s)) continue;
			for(int j=1;j<=n;j++){
//				if((1<<(q.fi-1))&s) continue;
				int g=s|(1<<(j-1));
				chkmin(dp[j][g],dp[i][s]+dis[i][j]);
//				printf("##%d %d %d %d !!%d\n",q.fi,g,i,s,dp[q.fi][g]);
			} 
		}
	LL ans=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++) chkmin(ans,dp[i][S]);//,printf("&&&%d %d\n",i,ans);
	if(ans==inf){
		printf("No");
		return 0;
	}
	printf("%lld\n",ans);
//	putN(ans);
	return 0;
}
/*
-读入字符一定检查回车
- 能不能搜索？
-函数要有返回值！
-想好了再写！
*/

时间复杂度

参见此贴。

贴中 rui_er 指出状压 dp 基础复杂度就是 $O (2^{(} n - 1) \times n)$ ，但至于“常数巨大”，我并没有发现什么常数。

本题的最优复杂度为 $O (n^{3} + 2^{n - 1} \times n^{2})$ （lowbit 逐位分解），但在通常实现方式下为 $O (n^{3} + 2^{n} \times n^{2})$ 。

posted @ 2024-01-29 19:47 BYR_KKK 阅读(34) 评论(0) 编辑收藏举报

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	#include<bits/stdc++.h>

	typedef long long LL;
	typedef std::pair<int,int> pii;

	#define fi first
	#define se second
	#define ok putstrln("OrzFinderHT")
	//#define check_time printf("%.8f\n",clocks()/CLOCK_PER_SEC)

	template<typename T>
	void abs(T &N){
	if(N>=0) N=N;
	else N=-N;
	}

	namespace G_{
	template<typename T>
	inline void read(T &a){
	a=0;
	int f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'\|\|c>'9'){
	if(c=='-') f=-1;
	c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') a=a*10+(int)(c-'0'),c=getchar();
	a*=f;
	}
	inline void get_enter(){
	getchar();
	}
	inline void get_str(std::string &str){
	char c=getchar();
	while(c!=' '&&c!='\n') str+=c,c=getchar();
	}
	template<typename T>
	inline void putN(T N){
	char stk[70];
	short top=0;
	if(N<0) putchar('-'),abs(N);
	do{
	stk[++top]=(char)(N%10+(int)'0');
	N/=10;
	}while(N);
	while(top) putchar(stk[top--]);
	}
	template<typename T>
	inline void putsp(T N){
	putN(N);
	putchar(' ');
	}
	template<typename T>
	inline void putln(T N){
	putN(N);
	putchar('\n');
	}
	inline void putstr(std::string str){
	int sz=str.size()-1;
	for(int i=0;i<=sz;i++) putchar(str[i]);
	}
	inline void putstrln(std::string str){
	putstr(str);
	putchar('\n');
	}
	inline void Yes(){
	putstrln("Yes");
	}
	inline void No(){
	putstrln("No");
	}
	template<typename T,typename I>
	inline void chkmin(T &a,I b){
	a=std::min(a,b);
	}
	}

	//using namespace get_give;

	using namespace G_;

	const LL maxn=25,maxs=1<<20,inf=1e9;

	std::vector<pii>d[maxn];

	LL dp[maxn][maxs];

	signed main(){
	int n,m;
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
	int u,v,w;
	read(u),read(v),read(w);
	d[u].push_back({v,w});
	}
	int S=(1<<n)-1;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][(1<<(i-1))]=0;
	for(int s=1;s<S;s++)
	for(int i=1;i<=n;i++){
	if(!((1<<(i-1))&s)) continue;
	for(auto q:d[i]){
	// if((1<<(q.fi-1))&s) continue;
	int g=s\|(1<<(q.fi-1));
	chkmin(dp[q.fi][g],dp[i][s]+q.se);
	// printf("##%d %d %d %d !!%d\n",q.fi,g,i,s,dp[q.fi][g]);
	}
	}
	LL ans=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++) chkmin(ans,dp[i][S]);//,printf("&&&%d %d\n",i,ans);
	if(ans==inf){
	printf("No");
	return 0;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	// putN(ans);
	return 0;
	}
	/*
	-读入字符一定检查回车
	- 能不能搜索？
	-函数要有返回值！
	-想好了再写！
	*/