主题：容斥反演。

容斥

求 $n$ 个集合的并集。

$S$ 不可为空。

简单证明：

考虑一个元素出现在 $p_{a_1},p_{a_2},\dots ,p_{a_x}$，考虑其的贡献。为 $\sum _{S\in a}(-1{)}^{|S|-1}=\sum _{i=1}^x(-1{)}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})=1+\sum _{i=0}^x(-1{)}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})$。根据二项式定理对其进行变形，$1-\sum _{i=0}^x(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})=1-(1-1{)}^x=1$。

有时候需要求集合的交集，令 $\bar{A}$ 为 $A$ 的补集，则 $\overline{\stackrel{―}{A}}=A$，$\overline{\cup \stackrel{―}{p_i}}=\cap p_i$，令 $Z$ 为全集，则 $|\cap p_i|=|Z|-|\cup \overline{p_i}|$。

注意到在容斥式子中我们给出了 $S$ 不可为空的限制，因为在大多数题目中，当 $S$ 为空时可以直接求出 $|Z|$。如果可以，那么求交集时会有另一个式子：

$S$ 可以为空。

不定方程计数。对 $\sum x_i=S$，$0\le x_i\le K$，对解计数，$n,K\le {10}^5$。

将 $x_i>K$ 作为属性，求集合的并集，然后利用总方案数减去并集大小即可。注意所有方案均需满足 $0\le x_i,\sum x_i=S$。如果钦定了 $i$ 个位置满足 $x_i>K$，那么直接插板即可，给出答案：

给一张无标号图 $G$ 和一张有标号树 $T$，求有多少种给 $G$ 标号的方式使得 $T$ 是 $G$ 的一棵生成树，$n\le 17$。

如果一开始就往容斥上想并不好做，考虑一个暴力的做法。

首先给图标号这种事情看上去无从下手，考虑先给图随便标一个号，然后统计有多少种映射合法。令 $f_{i,j,S}$ 代表 $T$ 上的 $i$ 映射到了 $j$，$i$ 的子树内的映射到的集合是 $S$ 的方案数。转移做子树合并。时间复杂度 $O(n^3{3}^n)$。

考虑复杂度的瓶颈在于状态中的集合 $S$，其作用是为了避免重复，尝试用容斥去掉 $S$ 这个限制。

令 $g(S)$ 代表 $T$ 中的所有点不必映射成 $n$ 阶排列，而是只需映射到 $S$ 这个集合中即可。那么答案就是 $\sum _S(-1{)}^{n-|S|}g(S)$，我们将映射后每个点是否被映射到视作属性，那么我们就是要求所有点都被映射到，$g(S)$ 实际上同样等价于 $\bar{S}$ 没被映射到的方案数，做容斥即可，这也解释了容斥系数中的 $(-1{)}^{n-|S|}$ 从何而来。

考虑如何求 $g(S)$，我们枚举 $S$，在做 dp 的过程中要求必须填 $S$ 中的数即可。时间复杂度 $O(n^3{2}^n)$。代码。

从暴力 dp 到正解中最关键的一步思考就是将映射成 $n$ 阶排列这个条件变成所有 $n$ 个点都被映射到。

不妨考虑能否将 $g$ 和答案的关系一般化。令 $f(S)$ 代表映射到的集合恰好为 $S$ 的方案数，$g(S)$ 代表映射到的集合为 $S$ 的子集的方案数，那么显然存在的关系是：

而我们刚才得到了这样的一个式子：

我们断言，任意对于某个集合的函数 $f,g$，若第一条关系成立，则第二条关系也成立。给出粗略证明：

对于关于集合 $P$ 的函数 $F(P)=\sum _{T\in P}(-1{)}^{|T|-|P|}$，存在 $F(P)=0^{|P|}$。

所以 $f(S)=\sum _{Q\in S}f(Q)\times F(S/Q)=f(S)$。

实际上，这是子集反演的一种形式。当我们将 $g$ 看作至多，$f$ 看作恰好时，这个式子会起很大的作用。

思考

容斥可以对于一些限制，将恰好转变成至少来放宽一些条件，以及后面反演中将涉及的 $min$ 和 $max$ 的转化。

凑容斥系数

刚才所有的容斥都是利用集合来理解的，考虑如下的理解方式：

要对所有物品在 $C_0$ 条件下的贡献求和，那么考虑构造一些其它条件 $C_1,C_2,\dots ,C_n$，并且有容斥系数 $f_1,f_2,\dots ,f_n$，设 $val(C_i)$ 是某个物品在 $C_i$ 条件下的贡献，那么要有：

如果能构造出 $C_i$ 和 $f_i$，同时能求出在每个 $C_i$ 下的所有物品贡献之和 $su{m}_i$，那么就有：

在前文的容斥中，我们都是将 $C_0$ 视作对所有集合求交，同时容斥系数 $f_i\in \{-1,1\}$，或者在此基础上做了一些本质区别不大的改变。

错排问题：求 $p_i\ne i$ 的 $n$ 阶排列数。

在广义的容斥中，往往很多时候都将一个状态视作物品。在这里，我们将一个 $n$ 阶排列视作一个物品。

直接的想法是让 $C_0$ 代表 $p_i\ne i$，$C_i$ 代表某一个子集满足 $p_i\ne i$，这样的话并不能刻画出容斥系数，此时条件之间的运算本质上还是逻辑与。

令 $C_i$ 代表有 $i$ 个位置代表满足 $p_i=i$。此时对于一个物品（即状态），设其有 $m$ 个位置满足 $p_i=i$，那么其贡献到 $j$ 上的并非 $0/1$，我们将其定义成 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})$，根据上文组合数学的经典式子 $f(x)=\sum _{i=0}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})(-1{)}^i=0^x$，取 $f_i=(-1{)}^i$ 即可。

注意到这个式子对于某个条件 $C_i$ 也是很好单独求的。

错排问题加强：设一个 $n$ 阶排列有 $m$ 个位置满足 $p_i\ne i$，那么该排列的价值为 $a_m$，求所有排列的价值之和。

使用和上面相同的定义。

直接 $O(n^2)$ 求出 $f_i$ 即可。时间复杂度 $O(n^2)$。

反演

考虑 $n$ 维向量 $F$、$H$，设有线性变换 $H=G\times F$，同时 $G$ 可逆，那么有 $F=G^{-1}\times H$，此时 $G$ 就是变换，$G^{-1}$ 就是反演。

二项式反演

定义在实数到实数的函数 $f$ 和 $g$ 上，考虑有：

那么存在：