AC自动机讲解

　　AC自动机是处理多模式串匹配等一系列问题的工具，可以将它当做一种数据结构。

　　首先我们考虑一个非常简单的问题，给定两个字符串，询问其中一个字符串在另一字符串中出现的次数，这个问题我们用KMP就可以非常容易的解决了，但是如果给定若干模式串，询问这组串在这个长串中的各个出现次数，这时KMP的时间复杂度就显然比较暴力了，对于这类的问题，我们可以考虑用AC自动机来解决（假设字符串中字符为大写字母）。

　　定义指针。

struct node{
    int cnt;
    node *fail,*child[30];
    node(){
        cnt=0; fail=NULL;
        memset(child,0,sizeof child);
    }
};

　　首先我们用一颗trie树将这若干个字符串存下来，这样方便我们处理多字符串匹配问题。

void build_trie(){
    totnode=nodepool;
    root=totnode++;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        char c[maxm];
        scanf("%s",&c);
        int len=strlen(c);
        node *t=root;
        for (int j=0;j<len;j++){
            if (!t->child[c[j]-'A']) t->child[c[j]-'A']=totnode++;
            t=t->child[c[j]-'A'];
        }
        t->cnt=1;
    }
}

　　这时候我们定义fail指针，他的作用类似与KMP中的next数组，代表在trie树上的某一节点如果失陪的话，需要向fail节点来转移，这样最优，即在模式串组中，假设当前节点代表的字符串为s，存在ss为s的后缀且ss最长，这时候s的fail指针指向ss的末节点。

　　那么现在我们需要快速求出每一个点的fail指针，首先比较显然的是每一个点的fail指针指向的节点的深度都会小于i节点的深度，假设我们当前需要求第i个点的fail指针，且深度在i之前的点的fail指针我们都已经求出，那么对于i的父亲节点j，i为j的第k个儿子，如果j的fail指针有第k个儿子，那么i的fail指针就为j的fail指针的第k个儿子，否则向上找j的fail指针的fail指针的第k个儿子，因为j的fail指针指向的点代表的字符串为j点代表的字符串的最长后缀，那么肯定先考虑这个是最优的，j的fail指针的fail指针是j的次长后缀，这样我们从最长的依次考虑下去，所得到的i的fail就是最长解。

　　因为我们需要保证在求第i个点之前，深度小于i的点都需要已经被处理，所以我们用一个队列来维护，首先将root入队，然后依次解决。

　　root的fail指针为自己。

void build_ac(){
　　 h=0;t=1;
    root->fail=root;
    que[1]=root;  //root入队
    while (h<t){
        node *u=que[++h];
        for (int i=0;i<26;i++) if (u->child[i]){ //如果该节点有儿子，我们才求这个点的fail指针
            que[++t]=u->child[i];
            node *v=u->fail;
            for (;v!=root&&!v->child[i];v=v->fail); //找到que[t]的fail指针。
            que[t]->fail=v->child[i]&&v->child[i]!=que[t]?v->child[i]:root; //因为root先入队，所以root的儿子的父亲的fail指针为root，这样root儿子的fail指针就指向了自己，防止这种情况我们特判下
        }
    }
}

　　但是首先我们明确自动机的定义，在每一个状态的每一个转移，我们都应该有转移方法，即每个点的所有儿子都不应该为空，虽然上一种构建ac自动机的方法对于某些问题也正确，但第一不满足自动机的定义，第二每次求每个点的fail指针时，我们向上寻找了好多次，这样就加大了ac自动机的常数，所以我们通常使用另一种ac自动机的构建方式。

void build_ac(){
    int h=0,t=1;
    que[1]=root; root->fail=root; 
    for (int i=0;i<26;i++) if (!root->child[i]) root->child[i]=root; //root的每一个空儿子都应该指向root
    while (h<t){
        node *v=que[++h];
        for (int i=0;i<26;i++) if (v->child[i]&&v->child[i]!=root){ //因为root的空儿子定义为root，所以我们需要特判
            que[++t]=v->child[i];
            node *u=v->fail;
            que[t]->fail=u->child[i]!=que[t]?u->child[i]:root; //上一种因为v->fail的每一个儿子都非空，所以我们直接赋值就行了。
        } else v->child[i]=v->fail->child[i]; //对于这种本来是空儿子的节点，我们将他的空儿子连到该节点fail指针的儿子，这样就保证了fail指针直接赋值的正确性。
    }
}

　　而且对于fail指针，每个节点都有一个fail指针，这类似与树的定义，所以我们将fail指针反向，可以建立failtree。

　　现在我们拥有了ac自动机，那么对于询问一个字符串组在一个字符串中出现的次数的问题，我们可以在ac自动机中模拟建立trie树的方式，跑这个字符串，将这个字符串经过的所有点的cnt++，建立failtree，每个节点的子树权值和就是该串在长串中出现次数。

　　那么对于单词(tjoi)这个题，我们需要考虑一个字符串组中，每个字符串在字符串组中出现的次数，这时假设当前字符串的结尾节点为i，所有指向i的fail指针所对应的节点都会使i的出现次数增加该节点的cnt次，那么建立failtree求和即可，其实简单的，我们可以将每一个字符串经过的节点的cnt++，这样我们从最深层开始

t->fail-cnt+=t->cnt，这样可以达到相等的效果。

　　关于ac自动机上的dp问题，最经典的就是给定字符串组，求一个长度问m的穿，（不）包含字符串组中的字符串的方案数，这样我们只需要定义状态w[0..1][i][j]代表当前在ac自动机上为第i个点，构建的字符长度为j的时候，包括（1），不包括字符串组中的字符串的方案数，直接累加就行了。