bzoj 1005 组合数学 Purfer Sequence
这题需要了解一种数列： Purfer Sequence
我们知道，一棵树可以用括号序列来表示，但是，一棵顶点标号（1~n）的树，还可以用一个叫做 Purfer Sequence 的数列表示
一个含有 n 个节点的 Purfer Sequence 有 n-2 个数，Purfer Sequence 中的每个数是 1~n 中的一个数
一个定理：一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应
先看看怎么由一个树得到 Purfer Sequence
由一棵树得到它的 Purfer Sequence 总共需要 n-2 步，每一步都在当前的树中寻找具有最小标号的叶子节点（度为 1），将与其相连的点的标号设为 Purfer Sequence 的第 i 个元素，并将此叶子节点从树中删除，直到最后得到一个长度为 n-2 的 Purfer Sequence 和一个只有两个节点的树
看看下面的例子：
假设有一颗树有 5 个节点，四条边依次为：(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5)，如下图所示：
第 1 步，选取具有最小标号的叶子节点 3，将与它相连的点 1 作为第 1 个 Purfer Number，并从树中删掉节点 3：
第 2 步，选取最小标号的叶子节点 1，将与其相连的点 2 作为第 2 个 Purfer Number，并从树中删掉点 1：
第 3 步，选取最小标号的叶子节点 4，将与其相连的点 2 作为第 3 个 Purfer Number，并从树中删掉点 4：
最后，我们得到的 Purfer Sequence 为：1 2 2
不难看出，上面的步骤得到的 Purfer Sequence 具有唯一性，也就是说，一个树，只能得到一个唯一的 Purfer Sequence
接下来看，怎么由一个 Purfer Sequence 得到一个树
由 Purfer Sequence 得到一棵树，先将所有编号为 1 到 n 的点的度赋初值为 1，然后加上它在 Purfer Sequence 中出现的次数，得到每个点的度
先执行 n-2 步，每一步，选取具有最小标号的度为 1 的点 u 与 Purfer Sequence 中的第 i 个数 v 表示的顶点相连，得到树中的一条边，并将 u 和 v 的度减一
最后再把剩下的两个度为 1 的点连边，加入到树中
我们可以根据上面的例子得到的 Purfer Sequence ：1 2 2 重新得到一棵树
Purfer Sequence 中共有 3 个数，可以知道，它表示的树中共有 5 个点，按照上面的方法计算他们的度为下表所示：
| 顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 |
第 1 次执行，选取最小标号度为 1 的点 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边：
将 1 和 3 的度分别减一：
| 顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 1 | 3 | 0 | 1 | 1 |
第 2 次执行，选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边：
将 1 和 2 的度分别减一：
| 顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 |
第 3 次执行，将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边：
将 2 和 4 的度分别减一：
| 顶点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
最后，还剩下两个点 2 和 5 的度为 1，连边：
至此，一个 Purfer Sequence 得到的树画出来了，由上面的步骤可知，Purfer Sequence 和一个树唯一对应
综上，一个 Purfer Sequence 和一棵树一一对应
有了 Purfer Sequence 的知识，这题怎么搞定呢？
先不考虑无解的情况，从 Purfer Sequence 构造树的过程中可知，一个点的度数减一表示它在 Purfer Sequence 中出现了几次，那么：
假设度数有限制的点的数量为 cnt，他们的度数分别为：d[i]
另：
那么，在 Purfer Sequence 中的不同排列的总数为：
而剩下的 n-2-sum 个位置，可以随意的排列剩余的 n-cnt 个点，于是，总的方案数就应该是：
化简之后为：
以上题解转自http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/p/3278557.html
//By BLADEVIL var n :longint; d :array[0..1010] of int64; a, b, c :array[0..1000000] of int64; procedure init; var i :longint; begin read(n); for i:=1 to n do read(d[i]); end; function mul(s1,s2:ansistring):ansistring; var len1, len2 :int64; i, j :longint; s :ansistring; begin fillchar(a,sizeof(a),0); fillchar(b,sizeof(b),0); fillchar(c,sizeof(c),0); len1:=length(s1); len2:=length(s2); for i:=1 to len1 do a[(len1-i) div 8+1]:=a[(len1-i) div 8+1]*10+ord(s1[i])-48; for i:=1 to len2 do b[(len2-i) div 8+1]:=b[(len2-i) div 8+1]*10+ord(s2[i])-48; len1:=(len1+7) div 8; len2:=(len2+7) div 8; for i:=1 to len1 do for j:=1 to len2 do begin c[i+j-1]:=c[i]+a[i]*b[j]; c[i+j]:=c[i+j-1] div 100000000; c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 100000000; end; mul:=''; inc(len1); for i:=len1 downto 1 do begin str(c[i],s); if c[i]<10000000 then mul:=mul+'0'; if c[i]<1000000 then mul:=mul+'0'; if c[i]<100000 then mul:=mul+'0'; if c[i]<10000 then mul:=mul+'0'; if c[i]<1000 then mul:=mul+'0'; if c[i]<100 then mul:=mul+'0'; if c[i]<10 then mul:=mul+'0'; mul:=mul+s; end; while (mul[1]='0') and (length(mul)>1) do delete(mul,1,1); end; function divide(s:ansistring;x:int64):ansistring; var len :int64; i :longint; begin fillchar(a,sizeof(a),0); fillchar(c,sizeof(c),0); len:=length(s); for i:=1 to len do a[(len-i) div 8+1]:=a[(len-i) div 8+1]*10+ord(s[i])-48; len:=(len+7) div 8; for i:=len downto 1 do begin c[i]:=c[i]+a[i] div x; a[i-1]:=a[i-1]+(a[i] mod x)*100000000; end; divide:=''; for i:=len downto 1 do begin str(c[i],s); if c[i]<10000000 then divide:=divide+'0'; if c[i]<1000000 then divide:=divide+'0'; if c[i]<100000 then divide:=divide+'0'; if c[i]<10000 then divide:=divide+'0'; if c[i]<1000 then divide:=divide+'0'; if c[i]<100 then divide:=divide+'0'; if c[i]<10 then divide:=divide+'0'; divide:=divide+s; end; while (divide[1]='0') and (length(divide)>1) do delete(divide,1,1); end; procedure main; var sum :int64; flag :boolean; cnt :int64; ans, s :ansistring; i, j :longint; begin if n=1 then begin if (d[1]=0) or (d[0]=-1) then writeln(1) else writeln(0); exit; end; sum:=0; flag:=false; cnt:=0; for i:=1 to n do if d[i]<>-1 then begin inc(sum,d[i]-1); inc(cnt); if (d[i]>n-1) or (d[i]=0) then flag:=true; end; if flag then begin writeln(0); exit; end; if sum>n-2 then begin writeln(0); exit; end; flag:=false; ans:='1'; for i:=n-1-sum to n-2 do begin str(i,s); ans:=mul(ans,s); end; str(n-cnt,s); for i:=1 to n-2-sum do ans:=mul(ans,s); for i:=1 to n do begin if d[i]<>-1 then for j:=1 to d[i]-1 do begin ans:=divide(ans,j); end; end; writeln(ans); end; begin init; main; end.
