蓝桥杯-最大子阵

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问题

给定一个nxm的矩阵A，求A中的一个非空子矩阵，使这个子矩阵中的元素和最大。
其中，A的子矩阵指在A中行和列均连续的一块。
输入格式
输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示矩阵A的行数和列数。
接下来n行，每行m个整数，表示矩阵A。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示A中最大的子矩阵中的元素和。

样例输入

样例输出

10

样例说明

取最后一列，和为10。
数据规模和约定
对于50%的数据，1<=n, m<=50；
对于100%的数据，1<=n, m<=500，A中每个元素的绝对值不超过5000。

思路

这题我是用动态规划求解，如下图，假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：

| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
|  ......................|
| ...................... |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
|  ......................|
| ...................... |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
|  ......................|
| an1 …… ani ……anj ……ann |

那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)，那么从中我们就可以把一个求子矩阵的问题转换成一个求最大子段和的问题，从中求出解。那么问题又来了，什么是最大子段和？怎么求最大子段和？
首先，我们看一个问题：

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值
比如当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-1,11,-1,13,-5,-2)时，最大子段和就为23。

用动态算法求解:

**b[j]=max{a[i]+a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。
由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:
b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

最大子段和算法

int getMaxArray(int a[],int n){//求最大子段和
    int max=a[0],temp=0;
    for (int i=0;i<n;i++) {
        if (temp>0) {
            temp+=a[i];
        }else {
            temp=a[i];
        }
        max=max>temp?max:temp;
    }
    return  max;
}

实现代码

#include "stdio.h"
#include<string.h>
int dp[100];
int getMaxArray(int a[],int n){//求最大子段和
    int max=a[0],temp=0;
    for (int i=0;i<n;i++) {
        if (temp>0) {
            temp+=a[i];
        }else {
            temp=a[i];
        }
        max=max>temp?max:temp;
    }
    return  max;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a[n][m];
    for(int i=0;i<n;i++){
        for (int j=0;j<m;j++) {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    int res=a[0][0],tmp;
    for (int i=0;i<n;i++) {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));//将dp数组置为0
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            for (int k = 0; k < m; ++k) {
                dp[k] += a[j][k];
            }
            tmp = getMaxArray(dp, n);
            res = res > tmp ? res : tmp;
        }
    }
    printf("%d\n", res);
}