2021.7.16 字符串讲解

By Zhang_RQ

哈希

对于一个长度为 n 的字符串，其哈希值为 $\sum\limits_{i=1}^ns_i\times base^{n-i}\bmod p$，其中 $base$ 和 $p$ 自选

判断两个字符串的一个方法是直接判断哈希值是否相等（虽然说有概率出错）。

可以快速算出一个字符串任意子串的哈希值。

具体而言，预处理出前缀哈希值，然后减一减，乘 $base$ 的若干次逆元就可以了。

在 $10^5$ 级别时可能会出现哈希冲突，可以使用双模数。

有种特殊的模数是自然溢出。

KMP

在线性时间中完成字符串匹配的算法

内容：给定一个源串和模式串，求出模式串在源串中出现的次数及出现的位置。

核心思想：减少暴力匹配时的浪费的信息，利用 $nxt$ 数组进行优化

$nxt_i$ 的定义：对于以 $i$ 结尾的前缀，满足最大的"前缀等于后缀"的长度。

$nxt$ 求法：$nxt_i=nxt_{i-1}$ 新加入的字符匹配 $+1$ ，否则跳 $nxt$

匹配做法：暴力匹配，失配时跳 $nxt$ 而不是从头开始。

for(ri i=1,j=0;i<=n;i++){
	while(j&&s2[j+1]!=s1[i])
		j=nxt[i];
	if(s2[j+1]==s1[i])
		j++;
	if(j==m){
		ans.push_back(i-m+1);
		j=nxt[j];
	}
}

Trie树

把节点作为状态，把字母放到边上。

用法：维护若干串，查询一个串是否是这些串的前缀。

void insert(char *s,int id){
	int x=rt;
    for(ri i=1;s[i];i++){
        if(!son[x][s[i]-'a'])
            son[x][s[i]-'a']=++cnt;
        x=son[x][s[i]-'a'];
	}
    nd[id]=x;
}

01Trie：把数字当成二进制串插到Trie里。可以实现不少有趣的功能，比如查一个数的前驱后继（有点像平衡树？）。一个比较经典的应用是维护一个数集，每次查询时给定一个数字，要求从数集中选出来一个数，最大化或最小化两个数的异或和。

AC自动机

可以理解为在多个串上的KMP。利用Trie树来维护这些串，nxt数组变为fail指针。

Fail指针的构造思想：

可以直接构造 trie 图以进行多串匹配。

Trie图构建的代码：

il void fail(){
    queue<int> q;
    for(ri i=0;i<26;i++)
        if(son[rt][i]){
            q.push(son[rt][i]);
            fail[son[rt][i]]=rt;
        }
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(ri i=0;i<26;i++){
            if(son[x][i]){
                fail[son[x][i]]=son[fail[x]][i];
                q.push(son[x][i]);
            }
            else
                son[x][i]=son[fail[x]][i];
        }
    }
    for(ri i=1;i<=cnt;i++)
        tot[fail[i]]++;
}

或

Manacher

用于求解最长回文子串的算法，线性。

思想：利用之前的已知信息来优化：

1. 维护当前最长的回文串和其回文中心
2. 对于一个新加入的位置，从关于会问中心对称的位置继承答案。
3. 这样每次更新答案的时候都是本质不同的回文串，复杂度自然就是线性的。

在字符之间添加 '#' 以处理回文中心不在字符上的情况。