【数学】集合

【数学】集合

集合的概念

• 集合：由某些确定对象组成的整体。
• 元素：集合中每个确定的对象。
• 有限集：含有有限个元素的集合。
• 无限集：含有无限个元素的集合。
• 空集：不含有任何元素的集合。
• 数集：集合中的元素都是数。
• 全集：当前所研究的集合涉及的全部元素组成的集合。

集合的特性

• 确定性：给定任意对象都能确定是不是在集合内。
• 互异性：集合中任意两个元素都一定是不同的对象。
• 无序性：对象在集合中排列不存在顺序要求。

集合的表示

基本符号

• $\{\}$：表示一个集合。
• $a\in A$（属于）：元素 a 属于集合 A。
• $a\notin A$（不属于）：元素 a 不属于集合 A。

表示集合

• 列举法：直接写出所有元素。

  如：$\{a,b,c\}$

• 描述法：写出元素形式和条件。

  如：$\{x\in R|x>0\}$、$\{(x,y)|y=x^2,x>0\}$

常见集合

• $\varnothing$：空集
• $N$：自然数或非负整数集（该符合存在争议）
• $Z$：整数集
• $Q$：有理数集（能写出分数形式的数）
• $R$：实数集（有理数和无理数的统称）
• $C$：复数集

集合的关系

名称	符号	描述
子集	$A\subseteq B$（包含于）	集合 B 包含集合 A 的所有元素。
真子集	$A⫋B$（真包含于）	集合 A 是集合 B 的子集，且 B 还比 A 多些元素。
超集	$A\supseteq B$（包含）	集合 A 包含集合 B 的所有元素。
真超集	$A⫌B$（真包含）	集合 A 是集合 B 的超集，且 A 还比 B 多些元素。
相等	$A=B$（等于）	集合 A 和集合 B 含有的元素完全一样。
不相等	$A\ne B$（不等于）	集合 A 和集合 B 含有的元素不一样。

子集与真子集等符号的定义还存在分歧
https://www.zhihu.com/question/434651634

特别推论

• $A\subseteq A$：任何一个集合都是它自身的子集。
• $\varnothing \subseteq A$：空集是任何集合的子集。

集合的运算

名称	符号	描述
交集	$A\cap B$（交）	给定集合 A、B，将它们所有共有的元素放在一起组合的集合。
并集	$A\cup B$（并）	给定集合 A、B，将它们所有的元素合并放在一起组成的集合。
补集		给定 A 及其全集 U，U 中除 A 元素之外的所有元素组成的集合。

运算定律

• 交换律：$A\cup B$