【数学】函数

【数学】函数

定义

运算的定义即函数，反过来说函数代表了一种运算。函数本质是一种方程，因此也具备方程中的各种属性。两者的区别主要是表达意图的侧重点不同：

• 方程更多的是作为求解关系的工具，展示的是计算过程。
• 而函数更多是为了定义求解后的关系结论，一般还会额外附带对未知数的范围描述。

函数通常以如下形式表示：

$$y=f(x)⟺f:x\to y$$

其中：

• x 所有可能的值叫做“定义域”
• y 所有可能的值叫做“值域”
• f 叫做对立法则，本质是关于 x 的某种式子或运算组合。

表示变量域

1. 函数的域通常是一段区间，区间则是值数轴上的一段数。

   • $[a,b]$（开区间）：表示 $a\le x\le b$
   • $(a,b)$（闭区间）：表示 $a<x<b$

   开闭区间允许混合使用，例如 $(a,b]$ 表示（$a<x\le b$）。

2. 区间也是一种集合，所以也可以采用集合的运算。

   如：$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$

类型

按映射方向分类

若函数用于将集合 A 映射到集合 B。其中映射行为意味着 A 中的每一个元素，在集合 B 中都能找到唯一的对应元素。

• 满射：对于任何集合 B 的元素，都能在 A 中得到对应，且对应可能不止一个。
• 单射：集合 B 的元素如果与集合 A 中的元素能对应，那只能是一对一关系。
• 双射：既是满射也是单射，也即对于 A 和 B 集合的元素都有对应，且一一对应。

按变量关系分类

• 显函数：y 直接等于 x 的某个函数，已知 x 时能直接求 y，如 $y=\pm \sqrt{(r^2-x^2)}$ 。
• 隐函数：x 和 y 组成的函数等于另一个式子，已知 x 时不能直接求 y，如 $x^2+y^2=r^2$ 。

按有理无理分量

• 有理函数：用有理数定义的任何函数，其分子和分母都是多项式。

按表示方式分类

• 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数（即因变量为定值，如 $y=a$）。
• 初等函数：由基本初等函数经过有限次的有理运算表示的函数。
• 超越函数：变量间关系不能用有限次的有理运算表示的函数。

性质

可以利用性质来描述函数的形象。

• 单调性：
  • 单调递增：y 总是随 x 的增大而增大。
  • 单调递减：y 总是随 x 的增大而减小。
• 奇偶性
  • 偶函数：$f(x)=f(-x)$
  • 奇函数：$f(x)=-f(-x)$
• 周期性：函数图像隔一段时间就会重复。

参考资料

• 【离散数学】单射、满射和双射的定义、区别
• 区间和集合的区别?
• 高中数学：函数的概念与性质