【数学】微分

【数学】微分

定义

函数的微分又叫导数。函数$f(x)$的导数定义如下：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

或者也可以记作如下形式（莱布尼茲记法）：

$$\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$$

注意！$\frac{df(x)}{dx}$中的$f(x)$不放在分号上也可以，替换成 y 表示也可以。并且其中的 $dy$，$dx$ 都是参数而不是符号，本质都是一个未知增量值，这意味它们是可以参与运算和变形的。

计算

求解函数导数的过程叫做“微分法”。利用定义中的公式可以很容易的计算，例如下面计算$\frac{d}{dx}{x}^2$。

$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{x}^2& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x^2+2x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{2x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}2x+\mathrm{\Delta }x\\ & =2x\end{array}$

利用此方法便可以学会自行求解导数，或者也可以直接查找导数列表来获得已计算的常用导数：
https://www.shuxuele.com/calculus/derivatives-rules.html

求导法则

虽然可以利用导数列表快速求解导数，但要注意的是，导数计算并不总是满足分配律的，因此必须要学会求导法则，将函数拆解后再确认可用的导数列表项。

• 乘以常数：$(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$
• 幂次方法则：$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
• 加法（和）法则：$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
• 减法（差）法则：$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$
• 乘法（积）法则：$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
• 除法（商）法则：$(\frac{f}{g}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
• 倒数法则：$(\frac{1}{f}{)}^{\prime }=\frac{-f^{\prime }}{f^2}$
• 链式法则：$(f(g){)}^{\prime }=f^{\prime }(g)g^{\prime }$

链式法则还支持另一种记法：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

其中$u=f(x),y=f(u)$。相当于先将关于 x 的一部分表达式看成一个完整的自变量（即将其视作 x，因此求导法则也发生变换），以便适配导数列表中的公式来求导，最后再乘上该自变量的实际导数来获取最终结果。

例如求解$\frac{d}{dx}\sin (x^2)$：

1. 设 $x^2=u$，则 $\sin (u{)}^{\prime }=\cos (u)$。
2. 而实际 u 的导数为 $(x^2{)}^{\prime }=2x$。
3. 两者相乘得 $2x\cos (u)$。
4. 最后还原 u 得到最终结果：$\frac{d\sin (x^2)}{dx}=2x\cos (x^2)$

隐微分法

隐函数一种特殊类型的函数，求解隐函数的导数有两种方法：

1. 转为显函数再求导 $\frac{dy}{dx}$（但有些函数的显函数形式很难求导，甚至不可能）。
2. 对两边直接求导 $\frac{df(x)}{dx}$（此处$f(x)\ne y$，仅代表两边式子），再求解计算过程中出现的 $\frac{dy}{dx}$ 的值。

例如对函数 $10x^4-18x{y}^2+10y^3=48$ 中由 x 组成的 y 的显函数求导。由于 $y=f(x)$ 的显函数形式无法列出，故采用方法 2 直接两边求导。

$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(10x^4-18x{y}^2+10y^3)& =\frac{d}{dx}(48)\\ \frac{d}{dx}(10x^4)-\frac{d}{dx}(18x{y}^2)+\frac{d}{dx}(10y^3)& =0\\ 40x^3-((18x{)}^{\prime }{y}^2+18x(y^2{)}^{\prime })+30y^2(y{)}^{\prime }& =0\\ 40x^3-(18y^2+18x\ast 2y(y{)}^{\prime })+30y^2(y{)}^{\prime }& =0\\ 40x^3-18y^2-36xy(y{)}^{\prime }+30y^2(y{)}^{\prime }& =0\\ -36xy(y{)}^{\prime }+30y^2(y{)}^{\prime }& =18y^2-40x^3\\ -18xy(y{)}^{\prime }+15y^2(y{)}^{\prime }& =9y^2-20x^3\\ 3(5y^2-6xy)y^{\prime }& =9y^2-20x^3\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{9y^2-20x^3}{3(5y^2-6xy)}\end{array}$

此外隐微分法还可用于在根本不知道反函数形式的情况下，求解反函数的导数。例如求解 ${\sin }^{-1}$：

已知 $y={\sin }^{-1}(x)$，则 $x=\sin (y)$，再对该函数求导即可：

$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}x& =\frac{d}{dx}\sin (y)\\ 1& =\cos (y)\frac{dy}{dx}\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\cos (y)}\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(y)}}（\mathrm{基}\mathrm{于}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{函}\mathrm{数}co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1\mathrm{的}\mathrm{变}\mathrm{形}）\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}（\mathrm{带}\mathrm{入}x=\sin (y)）\end{array}$

隐微分法的作用

1. 因为隐微分法解除的导数通常带有 y 值，因此这种导数可以用于获取一个 x 有多种 y 值函数的坡度，例如圆形公式。
2. 很多函数无法直接求解，但利用隐微分法可以方便的求出它们的导数，再借助导数我们便可以推测出这些函数的大致情况。

二次导数

也即导数的导数，记作：

$$f^{″}(x)=\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\frac{d(fx)}{dx}$$

可微分

函数可微分表示该函数存在导数。而有些函数是没有导数的，例如：

• $|x|$不可微分，因为左右极限不同。
• $\lfloor x\rfloor$和$\lceil x\rceil$不可微分，因为整数值之间不连续。
• 当 $x=0$ 时 $x^{\frac{1}{2}}$ 不可微分，因为函数是未定义的（除 0）。

但要注意的时，如果规定了定义域，部分函数也将可微。

可微的函数就可以用微积分处理，同时函数可微表明该函数是连续的。

求解极值

极值是局部（部分定义域）的最值，最值是一个函数的最大或最小值（全部定义域）。

导数可用于求解极值，因为函数的极值处恰好是坡度（函数值增减方向）改变的时候，从极限的角度来看，此处的函数图像是平坦的，所以其导数为 0。

判断极大或极小

利用二次导数，通过导数的变化方向就可猜出当前的极值是极大还是极小：

• 小于 0：导数图像开始下降，说明函数值之前是上升，现在值下降，所以是极大值。
• 大于 0：导数图像开始上升，说明函数值之前是下降，现在值上升，所以是极小值。
• 等于 0：该检测方法无法检测，一般表明是鞍点（函数图像平坦，但不是极值）。

求解上凹下凹和拐点

上凹（也称下凸或凸）和下凹（也称上凸或凹）是两种函数特征。函数图形成碗装，凹槽朝上叫上凹，朝下叫下凹。而在上凹（下凹）变成下凹（上凹）的一个点叫拐点。

将一个凹两边的拐点相连成直线，上凹区间的函数值永远小于该直线，下凹则是永远大于，而这便是上凹和下凹的定义：

$$\mathrm{上}\mathrm{凹}：f(ta+(1-t)b)\le tf(a)+(1-t)f(b)$$

$$\mathrm{下}\mathrm{凹}：f(ta+(1-t)b)\ge tf(a)+(1-t)f(b)$$

其中 $ta+(1-t)b$ 表示 a 到 b 区间的任意值，其中 t 为 0-1 的实数。

利用导数判断凹的方向

导数就是函数图形的坡度，而坡度变换也能反映函数的凹方向：

• 若导数连续增大，函数是上凹。
• 若导数连续减小，函数是下凹。

也即：

• 若二阶导数是正数，函数是上凹。
• 若二阶导数是负数，函数是下凹。