【数学】积分

【数学】积分

定义

函数的积分就是微分的反函数。积分是求一个函数值在一片范围内的总和，因此每个自变量处的函数值可以看作这个总和中的一个增量，而微分表示的也恰好是函数在当前位置的增量，因此改变视角，将要计算积分的原函数，看成是微分后的函数，那微分前的函数就是原函数的积分函数。

积分的写法如下：

$$\int f(x)dx=f^{\prime -1}(x)+C$$

注意！其中的 $dx$ 不是符号而是参数，本质上这个式子的意思是将无限个 $dy（\mathrm{也}\mathrm{即}f(x)）\ast dx$ 后相加。所以 $dx$ 有时也会参与到公式变形中。

其中 $C$ 叫积分常数，因为常数的微分是 0，因此不会出现在积分公式中，但原函数中可能出现任何常数，因此用积分常数的来表示。

积分法则

类似求导法则，积分也有预计算好的公式和法则提供使用，方便我们快速求解函数积分：
https://www.shuxuele.com/calculus/integration-rules.html

其中几个在微分中非线性变化的法则，对应到积分中则变成了“分部积分法”和“换元积分法”。

分布积分法

分布积分法用于求解两个表达式相乘情况的积分，公式如下：

$$\int u(x)v(x)dx=u(x)\int v(x)dx-\int u^{\prime }(x)(\int v(x)dx)dx$$

该公式是通过微分的积法则推算出来的：

$\begin{array}{rl}(uv{)}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ \int (uv{)}^{\prime }dx& =\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx（\mathrm{隐}\mathrm{积}\mathrm{分}（\mathrm{隐}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{法}\mathrm{的}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{版}\mathrm{本}））\\ uv& =\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx\\ \int u{v}^{\prime }dx& =uv-\int u^{\prime }vdx\\ \int \int u{v}^{\prime }dxdv& =\int uvdv-\int \int u^{\prime }vdxdv（\mathrm{再}\mathrm{次}\mathrm{隐}\mathrm{积}\mathrm{分}）\\ \int \int u{v}^{\prime }dvdx& =\int uvdv-\int \int u^{\prime }vdvdx（\mathrm{调}\mathrm{整}\mathrm{累}\mathrm{加}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{的}\mathrm{顺}\mathrm{序}）\\ \int u(\int v^{\prime }dv)dx& =u\int vdv-\int u^{\prime }(\int vdv)dx（\mathrm{利}\mathrm{用}\mathrm{数}\mathrm{乘}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{法}\mathrm{则}\mathrm{化}\mathrm{简}）\\ \int uvdx& =u\int vdv-\int u^{\prime }(\int vdv)dx\end{array}$

关于该公式有几个小技巧：

1. 可以利用$f(x)=f(x)\ast 1$的性质展开积分函数，将积分计算转为微分计算。
2. 不同的 u 和 v 选择会影响计算难度，选择时应确保 u 微分简单，v 积分简单。

例如通过技巧 1 计算 $\ln (x)$ 的积分：

$\begin{array}{rl}\int \ln (x)dx& =\int \ln (x)\ast 1dx\\ & =\ln (x)\int 1dx-\int {\ln }^{\prime }(x)\int 1dxdx\\ & =\ln (x)x-\int \frac{1}{x}\ast xdx\\ & =x\ln (x)-x+C\end{array}$

换元积分法

换元积分法可以实现对一些特定格式函数的简化计算，公式如下：

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du\mathrm{其}\mathrm{中}u=g(x)$$

有时 $g(x)$ 和 $g^{\prime }(x)$ 不会恰好同时出现，但我们可以凑微分：

$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{x^2+1}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+1}2xdx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du(u=x^2+1)\\ & =\frac{1}{2}\ln (u)+C\\ & =\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C\end{array}$

定积分

定积分是划清了范围的积分，从面积的角度来解释就是在一段区间内的函数值总量，相应的没划清范围的叫不定积分。若一个定积分的自变量范围为从 a 到 b，则该定积分的表示方法如下：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\int f(x)dx(x=b)-\int f(x)dx(x=a)$$

定积分存在一些性质：

• 倒转区间：把区间倒转后，定积分是原来定积分的负值。
• 零长度的区间：若起点等于终点，定积分的值是零。
• 区间相加：将区间分为多份求解定积分后相加与完整区间的定积分值一致。

此外要注意的是，当利用换元积分法解定积分时，因为 dx 换成了 du，那积分范围也要改变：

$${\int }_a^{b}f(u)u^{\prime }dx={\int }_{u(x)(x=a)}^{u(x)(x=b)}f(u)du$$

利用积分求解弧长

若有一曲线 $y=f(x)$，设 S 等于弧长，则根据积分思想（一条曲线本质是由无数条无线小的线段构成）和勾股定理（求线段长度）可得如下公式：

$\begin{array}{rl}S& =\underset{n\to \text{infin}}{lim}\sum _{i=1}^n\sqrt{(\mathrm{\Delta }{x}_i{)}^2+(\mathrm{\Delta }{y}_i{)}^2}\\ & =\int \sqrt{d{x}^2+d{y}^2}\\ & =\int \sqrt{d{x}^2+d{y}^2}\ast \frac{1}{dx}\ast dx（\mathrm{构}\mathrm{成}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{形}\mathrm{式}）\\ & =\int \sqrt{d{x}^2\ast \frac{1}{d{x}^2}+d{y}^2\ast \frac{1}{d{x}^2}}\ast dx\\ & =\int \sqrt{1+(\frac{dy}{dx}{)}^2}dx\\ & =\int \sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx（\mathrm{弧}\mathrm{长}\mathrm{公}\mathrm{式}）\end{array}$

更进一步，若曲线 x 的区间被固定，则弧长公式为：

$${\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$$

因此若曲线公式为 $y=x^{3/2}$ 且 $x\in [0,4]$ ，则其弧长为：

$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^4\sqrt{1+(\frac{d}{dx}{x}^{3/2}{)}^2}dx\\ & ={\int }_0^4\sqrt{1+(\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}{)}^2}dx\\ & ={\int }_0^4\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx\\ & =\frac{4}{9}{\int }_1^{10}\sqrt{u}du(u=1+\frac{9}{4}x)（\mathrm{换}\mathrm{元}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{法}）\\ & =\frac{4}{9}\ast {\frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}|}_1^{10}\\ & =\frac{4}{9}\ast (\frac{2}{3}{10}^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}{1}^{\frac{3}{2}})\\ & =\frac{8}{27}({10}^{\frac{3}{2}}-1)\approx 9.073\end{array}$

其他类似积分的算法

积分的思想也可以显式用于实现一些计算方法，类似过去的割圆术一样：

• 左矩形法（容易偏小）
• 右矩形法（容易偏大）
• 中点矩形法（左右矩形法相结合）
• 梯形法（利用梯形近似）
• 辛普森公式（利用抛物线近似）