[洛谷P2577] [ZJOI2005]午餐

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题目描述

上午的训练结束了，THU ACM小组集体去吃午餐，他们一行N人来到了著名的十食堂。这里有两个打饭的窗口，每个窗口同一时刻只能给一个人打饭。由于每个人的口味（以及胃口）不同，所以他们要吃的菜各有不同，打饭所要花费的时间是因人而异的。另外每个人吃饭的速度也不尽相同，所以吃饭花费的时间也是可能有所不同的。

THU ACM小组的吃饭计划是这样的：先把所有的人分成两队，并安排好每队中各人的排列顺序，然后一号队伍到一号窗口去排队打饭，二号队伍到二号窗口去排队打饭。每个人打完饭后立刻开始吃，所有人都吃完饭后立刻集合去六教地下室进行下午的训练。

现在给定了每个人的打饭时间和吃饭时间，要求安排一种最佳的分队和排队方案使得所有人都吃完饭的时间尽量早。

假设THU ACM小组在时刻0到达十食堂，而且食堂里面没有其他吃饭的同学（只有打饭的师傅）。每个人必须而且只能被分在一个队伍里。两个窗口是并行操作互不影响的，而且每个人打饭的时间是和窗口无关的，打完饭之后立刻就开始吃饭，中间没有延迟。

现在给定N个人各自的打饭时间和吃饭时间，要求输出最佳方案下所有人吃完饭的时刻。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数N，代表总共有N个人。

以下N行，每行两个整数 Ai，Bi。依次代表第i个人的打饭时间和吃饭时间。

输出格式：

一个整数T，代表所有人吃完饭的最早时刻。

输入输出样例

输入样例#1：

5
2 2
7 7
1 3
6 4
8 5

输出样例#1：

17

说明

所有输入数据均为不超过200的正整数。

题意: 有\(n\)个人.,每个人有一个排队时间和吃饭时间,两个窗口,窗口每时每刻都可以有一个人在排队,且一个人排完队后另一个人可以马上接着他排队,要使每个人都打完饭吃完最短需要多久.

题解: 首先我们先想一下如果只有一个窗口该如何记录最短时间.如果只有一个窗口,那么最短时间就只与排队顺序有关了,那么应该让谁排在前面呢?我们这里假设\(i\)的等待时间为\(wait[i]\),吃饭时间为\(eat[i]\),假设要让\(i\)排在\(j\)前面,就要满足:\(wait[i]+wait[j]+eat[j] <= wait[j]+wait[i]+eat[i])\)
化一下式子,可以得到\(eat[i] >= eat[j]\),也就是说,按照吃东西的时间从大到小排序,这样可以得到的结果是最优的.

那么如果有两个窗口呢?这里我们可以用DP的方法来维护一下.我们用状态\(f[i][j][k]\)表示前\(i\)个人都吃完饭,且在第一个窗口等待时间为\(j\),第二个为\(k\)所需要的最少时间.那么可以写出状态转移方程:$$f[i][j][k]=min(f[i][j][k], max(f[i-1][j-wait[i]][k], j+eat[i]))$$和$$f[i][j][k]=min(f[i][j][k], max(f[i-1][j][k-wait[i]], k+eat[i]))$$.

然而这样做的话时空复杂度是\(O(n*V^2)\)的,其中\(V=n^2\),显然这样的复杂度是过不了的.

那么我们需要对这个状态进行一些优化.

我们会发现前\(i\)个人的等待时间之和是可以确定的,也就是说,我们并不需要记录两个窗口的等待时间,只需要记录一个窗口的等待时间就可以算出另一个窗口的等待时间,可以设状态\(f[i][j]\)表示前\(i\)个人都吃完饭,并且第一个窗口等待时间为\(j\).这样定义的状态可以保证是唯一的.转移也类似上面的转移方法:$$f[i][j] =min(f[i][j], max(f[i-1][j-wait[i]], j+eat[i]))$$和$$f[i][j] = min(f[i][j], max(f[i-1][j], sum[i]-j+eat[i]))$$其中\(sum[i]\)表示前\(i\)个人的等待总时间.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200+5;
typedef int _int;
#define int long long

int n, sum[N], ans = 2e9;
int f[N][N*N];

struct people{
    int wait, eat;
}a[N];

bool cmpp(people a, people b){ return a.eat > b.eat; }

_int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].wait >> a[i].eat;
    sort(a+1, a+n+1, cmpp);
    for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1]+a[i].wait;
    memset(f, 127/3, sizeof(f)), f[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= sum[n]; j++){
            if(j >= a[i].wait) f[i][j] = min(f[i][j], max(f[i-1][j-a[i].wait], j+a[i].eat));
            f[i][j] = min(f[i][j], max(f[i-1][j], sum[i]-j+a[i].eat));
        }
    for(int i = 0; i <= sum[n]; i++) ans = min(ans, f[n][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}