[洛谷P1941] 飞扬的小鸟
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题目描述
Flappy Bird是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。
为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编:
游戏界面是一个长为 \(n\)，高为 \(m\) 的二维平面，其中有 \(k\) 个管道（忽略管道的宽度）。
小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为 \(1\)，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 \(X\)，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 \(Y\)。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度 \(X\) 和下降的高度 \(Y\) 可能互不相同。
小鸟高度等于 \(0\) 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 \(m\) 时，无法再上升。
现在,请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
输入输出格式
输入格式：
第 \(1\) 行有 \(3\) 个整数 \(n, m, k\)，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；
接下来的 \(n\) 行，每行 \(2\) 个用一个空格隔开的整数 \(X\) 和 \(Y\)，依次表示在横坐标位置 \(0 \sim n-1\) 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 \(X\)，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度 \(Y\)。
接下来 \(k\) 行，每行 \(3\) 个整数 \(P, L, H\)，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中 \(P\) 表示管道的横坐标，\(L\) 表示此管道缝隙的下边沿高度，\(H\) 表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证 \(P\) 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。
输出格式：
共两行。
第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出 \(1\)，否则输出 \(0\)。
第二行，包含一个整数，如果第一行为 \(1\)，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
输入输出样例
输入样例#1：
10 10 6
3 9
9 9
1 2
1 3
1 2
1 1
2 1
2 1
1 6
2 2
1 2 7
5 1 5
6 3 5
7 5 8
8 7 9
9 1 3
输出样例#1：
1
6
输入样例#2： 复制
10 10 4
1 2
3 1
2 2
1 8
1 8
3 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 0 2
6 7 9
9 1 4
3 8 10
输出样例#2：
0
3
说明
【输入输出样例说明】
如下图所示，蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。
【数据范围】
对于 30%的数据：\(5 \leq n \leq 10, 5 \leq m \leq 10, k=0\)，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 \(3\)次；
对于 50%的数据：\(5 \leq n \leq 20, 5 \leq m \leq 10\)，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 \(3\) 次；
对于 70%的数据：\(5 \leq n \leq 1000, 5 \leq m \leq 100\)；
对于 100%的数据：\(5 \leq n \leq 10000\), \(5 \leq m \leq 1000\)，\(0 \leq k < n\), \(0 < X < m\), \(0 < Y < m\), \(0 < P < n\), \(0 \leq L < H \leq m\), \(L + 1 < H\)。
题意: 一个矩形中有\(k\)根管子,每次点击屏幕会上升一定高度,否则会下降一定高度.碰到管子就会游戏结束,问最少点多少下屏幕可以通过所有管道,如果无法通过所有管道,则输出\(-1\).
题解: 我们会发现到达某一个位置所需要的步数是具有最优性的,也就是说,我们可以记录下到达每个位置的最优情况,然后就自然而然的想到了DP了.
我们可以设状态\(f[i][j]\)表示到第\(i\)行第\(j\)个位置所需要的最少步数.设在\(i\)不点击屏幕会下降\(down[i]\),点击会上升\(up[i]\),那么转移就是:\(f[i+1][j] = min(f[i+1][j], min(f[i][j-up[i]+1,f[i+1][j-up[i]+1))\).
然后我们就会发现这个转移的形式是一个完全背包,也就是说,我们可以在01背包的基础上将空间的枚举按顺序枚举,这样我们的时间复杂度就是\(O(n^2)\)的了.
然后有一个小细节需要注意一下:在枚举的时候,就算当前状态是不合法的,也要先转移,因为我们在做完全背包的时候需要之前的状态转移过来.比如说现在小鸟在某个位置,然后点一次到的位置还是在管子下面,但是实际上它是可以再点几次使得小鸟通过这根管子,所以需要先给不合法的状态更新,等更新了所有状态之后再将这些不合法的状态赋回最大值.
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10000+5;
const int M = 1000+5;
int n, m, k, up[N], down[N], inf, ans = 2e9, low[N], high[N], num[N];
int f[N][M];
bool access(int x){
for(int i = 1; i <= m; i++)
if(f[x][i] < inf) return true;
return false;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
int x, y, z; cin >> n >> m >> k;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> up[i] >> down[i];
for(int i = 1; i <= k; i++)
cin >> x >> y >> z, low[x] = y, high[x] = z, num[x] = 1;
for(int i = 0; i <= n; i++) num[i] += num[i-1];
memset(f, 127/3, sizeof(f)), inf = f[0][0];
for(int i = 1; i <= m; i++) f[0][i] = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
if(low[i+1] || high[i+1]){
for(int j = 1; j <= m; j++){
int nx = min(m, j+up[i]);
if(nx < high[i+1])
f[i+1][nx] = min(f[i+1][nx], min(f[i][j]+1, f[i+1][j]+1));
if(low[i+1] < j-down[i] && j-down[i] < high[i+1])
f[i+1][j-down[i]] = min(f[i+1][j-down[i]], f[i][j]);
}
for(int j = 1; j <= low[i+1]; j++)
if(f[i+1][j] < inf) f[i+1][j] = inf;
} else {
for(int j = 1; j <= m; j++){
int nx = min(m, j+up[i]);
f[i+1][nx] = min(f[i+1][nx], min(f[i][j]+1, f[i+1][j]+1));
if(j > down[i]) f[i+1][j-down[i]] = min(f[i+1][j-down[i]], f[i][j]);
}
}
if(!access(i+1)) cout << 0 << endl << num[i] << endl, exit(0);
}
cout << 1 << endl;
for(int i = 1; i <= m; i++) ans = min(ans, f[n][i]);
cout << ans << endl;
return 0;
}
