莫比乌斯反演学习笔记

布尔表达式

形如[表达式]的叫做布尔表达式,其中括号内的内容如果为真则返回1,否则返回0.

莫比乌斯函数

也可以理解为如果\(n\)有平方因子,则\(μ(n)=0\),否则\(μ(n)=1\)或\(-1\).

莫比乌斯函数的性质

1. 对于任意正整数\(n\)有: $$\sum_{d|n}μ(n)=\left{\begin{aligned}1 \ \ \ n = 1\0 \ \ \ n > 1\\end{aligned}\right.$$
2. 对于任意正整数\(n\)有: $$\sum_{d|n}\frac{μ(n)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$$
3. (对于做莫比乌斯函数题最重要的性质)对于任意正整数\(x,y\)有:$$[gcd(x,y)==1]=\sum_{d|x,d|y}μ(d)$$

如何筛莫比乌斯函数

根据莫比乌斯函数的定义(见上图)可知:

1. \(μ(i)=1,(i \in prime)\)
2. \(μ(i)=-μ(p)*μ(\frac {i}{p}), p \in prime,p|i,i \not \in prime\)
   其实很好理解,因为\(μ(i)=(-1)^k, i=p_1\times p_2\times ...\times p_k\),所以如果\(\frac i p\)多加入一个质因子\(p\)的话,求得的莫比乌斯函数就会正好与上次求得的结果相反(如果有平方质因子的话赋值为相反树也还是0).代码如下:

void init(int lim){
    int temp;
    mu[1] = nprime[0] = nprime[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= lim; i++){
	if(!nprime[i]) prime[++size] = i, mu[i] = -1;
	for(int j=1; j <= size && (temp = prime[j]*i) <= lim; j++){
	    nprime[temp] = 1;
	    if(i % prime[j] == 0) break;
	    mu[temp] = -mu[i];
	}
    }
}

莫比乌斯函数的前缀和

据说积性函数的前缀和是可以用\(O(n^{\frac 2 3})\)的复杂度筛的 (然而我还不会...).所以我们可以先直接筛莫比乌斯函数,然后再\(O(n)\)统计一下前缀和.

先扯到这里吧.