[洛谷P2597] [ZJOI2012]灾难

洛谷题目链接:[ZJOI2012]灾难

题目描述

阿米巴是小强的好朋友。

阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想，如果蚂蚱被他们捉灭绝了，那么吃蚂蚱的小鸟就会饿死，而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝，从而引发一系列的生态灾难。

学过生物的阿米巴告诉小强，草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭绝了，小鸟照样可以吃别的虫子，所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾难。

我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图来描述生物之间的关系：

一个食物网有N个点，代表N种生物，如果生物x可以吃生物y，那么从y向x连一个有向边。

这个图没有环。

图中有一些点没有连出边，这些点代表的生物都是生产者，可以通过光合作用来生存； 而有连出边的点代表的都是消费者，它们必须通过吃其他生物来生存。

如果某个消费者的所有食物都灭绝了，它会跟着灭绝。

我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为，如果它突然灭绝，那么会跟着一起灭绝的生物的种数。

举个例子：在一个草场上，生物之间的关系是：

如

如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了，那么狼会因为没有食物而灭绝，而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以，羊的灾难值是1。但是，如果草突然灭绝，那么整个草原上的5种生物都无法幸免，所以，草的灾难值是4。

给定一个食物网，你要求出每个生物的灾难值。

输入输出格式

输入格式：

输入文件 catas.in 的第一行是一个正整数 N，表示生物的种数。生物从 1 标

号到 N。

接下来 N 行，每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表，格式为用空

格隔开的若干个数字，每个数字表示一种生物的标号，最后一个数字是 0 表示列

表的结束。

输出格式：

输出文件catas.out包含N行，每行一个整数，表示每个生物的灾难值。

输入输出样例

输入样例#1：

5
0
1 0
1 0
2 3 0
2 0

输出样例#1：

4
1
0
0
0

说明

【样例说明】

样例输入描述了题目描述中举的例子。

【数据规模】

对50%的数据，N ≤ 10000。

对100%的数据，1 ≤ N ≤ 65534。

输入文件的大小不超过1M。保证输入的食物网没有环。

一句话题意: 给出一个食物链网络,当一个物种的所有食物都灭绝了这个物种才会灭绝,问一个物种灭绝后会使多少个物种灭绝.

题解: 首先可以确定处理顺序:一定要按照食物链的拓扑序来处理(从被吃的物种到吃它的物种),这样才能保证某一个物种灭绝后不会对它吃的物种造成影响.

那么在处理某个物种灭绝后造成的影响该怎么算呢?

不难想到暴力模拟,从每个点出发,直接拓扑序累加答案,这样的做法是\(O(n^2)\)的.可能有人会想到直接做一遍拓扑排序统计答案,但是这样的话就无法保证统计答案的时候某个物种的每一个食物都已经灭绝了,从而导致答案错误.

那么显然我们枚举每个点算答案的过程是不能省略的.那么该怎么样优化复杂度呢?

这里我们可以将已经算完答案的物种加入一颗树中,如果一个\(A\)灭绝后\(B\)也会灭绝,就将\(B\)连向\(A\)的儿子.这样建树的话统计答案就非常方便了,一个物种灭绝的答案就是它的子树大小.

但是这样还是有问题:一个物种可能要有多个物种灭绝才会灭绝.这时我们就可以求出这个物种所有的食物的\(LCA\),也就是说只有这个\(LCA\)灭绝了,这个物种才会灭绝.比如说这张图(引用自\(Lance1ot\)的贴图):

只有1灭绝了4才会灭绝,这样的话就将4接到1下面就可以了.

所以我们可以每次以拓扑序顺序向树中加点,并每次更新\(LCA\)的倍增数组(这里选用倍增求解\(LCA\)是因为倍增比较好在线统计,而树剖在建树的过程是离线的,也就是我们在处理之前并不知道树的形态).最后建好树后直接一遍\(dfs\)遍历整颗树.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300000+5;

int n, val[N], gup[N][25], dep[N], in[N];

vector <int> food[N], top[N], ch[N];

int gi(){
    int ans = 0, f = 1; char i = getchar();
    while(i<'0' || i>'9'){ if(i == '-') f = -1; i = getchar(); }
    while(i>='0' && i<='9') ans = ans*10+i-'0', i = getchar();
    return ans * f;
}

int lca(int x, int y){
    if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(dep[gup[x][i]] >= dep[y]) x = gup[x][i];
    if(x == y) return x;
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(gup[x][i] != gup[y][i]) x = gup[x][i], y = gup[y][i];
    return gup[x][0];
}

void solve(int x){
    int LCA = food[x][0];
    for(int i=1;i<food[x].size();i++) LCA = lca(LCA, food[x][i]);
    ch[LCA].push_back(x), dep[x] = dep[LCA]+1, gup[x][0] = LCA;
    for(int i=1;i<=20;i++) gup[x][i] = gup[gup[x][i-1]][i-1];
}

void topsort(){
    queue <int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(in[i] == 0) in[i]++, top[0].push_back(i), food[i].push_back(0);
    q.push(0);
    while(!q.empty()){
        int x = q.front(); q.pop();
        for(int i=0;i<top[x].size();i++)
            if(--in[top[x][i]] == 0) solve(top[x][i]), q.push(top[x][i]);
    }
}
    
void dfs(int x, int f){
    for(int i=0;i<ch[x].size();i++)
        dfs(ch[x][i], x), val[x] += val[ch[x][i]];
}

int main(){
    // freopen("data.in", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int x; n = gi();
    for(int i=1;i<=n;i++){
	x = gi();
        while(x) in[i]++, top[x].push_back(i), food[i].push_back(x), x = gi();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) val[i] = 1;
    topsort(), dfs(0, -1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout << val[i]-1 << endl;
    return 0;
}