[洛谷P1613] 跑路

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题目描述

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数n，m，表示点的个数和边的个数。

接下来m行每行两个数字u，v，表示一条u到v的边。

输出格式：

一行一个数字，表示到公司的最少秒数。

输入输出样例

输入样例#1：

4 4
1 1
1 2
2 3
3 4

输出样例#1：

1

说明

【样例解释】

1->1->2->3->4，总路径长度为4千米，直接使用一次跑路器即可。

【数据范围】

50%的数据满足最优解路径长度<=1000；

100%的数据满足n<=50，m<=10000，最优解路径长度<=maxlongint。

一句话题意: 一个\(n\)点的有向图上有\(m\)条边,每条边的长度为1.你一秒可以走\(2^k\)的长度,求从\(1\)点到\(n\)点的最短时间.

题解: 咋一看先想到的是倍增,但是这个有向图中是有环的,然后又想因为可以在环上随便走多少次,然后就以为只要不断在换上绕就一定可以\(1\)次到.

但是这样是错的.我们可以假设这个环的长度为\(len\),在环上走了\(x\)次,假设\(1\)到\(n\)只有一个环,除了这个环以外的距离为\(dis\),若要一次走到,则有\(x*len+dis=2^k\),将\(x\)看作变量,那么就可以将前半部分看作一个一次函数,后半部分看作一个指数函数,而这两个函数不一定有正整数的交点,所以这么想是错的.

其实这道题也可以用类似最短路的方法来做.我们设\(dis[i][j][k]\)表示\(i\)经过\(2^k\)到达了\(j\),那么统计出所有的路径之后就可以直接跑最短路了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50+5;
typedef int _int;
#define int long long
const int inf=2147483647;
const int lim=60;

int n, m, dis[N][N], path[N][N][100], ans = inf;

_int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int x, y; cin >> n >> m;
    memset(dis, 127/3, sizeof(dis));
    for(int i=1;i<=m;i++) cin >> x >> y, path[x][y][0] = dis[x][y] = 1;
    for(int l=1;l<=lim;l++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
	        for(int j=1;j<=n;j++)
	            if(path[i][k][l-1] && path[k][j][l-1])
		            path[i][j][l] = dis[i][j] = 1;
    for(int k=0;k<=n;k++)
	    for(int i=1;i<=n;i++)
	        for(int j=1;j<=n;j++)
		        dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j]);
    cout << dis[1][n] << endl;
    return 0;
}