[洛谷P2051] [AHOI2009]中国象棋

洛谷题目链接:[AHOI2009]中国象棋

题目描述

这次小可可想解决的难题和中国象棋有关，在一个N行M列的棋盘上，让你放若干个炮（可以是0个），使得没有一个炮可以攻击到另一个炮，请问有多少种放置方法。大家肯定很清楚，在中国象棋中炮的行走方式是：一个炮攻击到另一个炮，当且仅当它们在同一行或同一列中，且它们之间恰好 有一个棋子。你也来和小可可一起锻炼一下思维吧！

输入输出格式

输入格式：

一行包含两个整数N，M，之间由一个空格隔开。

输出格式：

总共的方案数，由于该值可能很大，只需给出方案数模9999973的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

1 3

输出样例#1：

7

说明

样例说明

除了3个格子里都塞满了炮以外，其它方案都是可行的，所以一共有222-1=7种方案。

数据范围

100%的数据中N和M均不超过100

50%的数据中N和M至少有一个数不超过8

30%的数据中N和M均不超过6

一句话题意: 一个矩阵中填入一些炮,使得任意两个炮不能互相打到.

题解: 如果玩过象棋就会知道,一行最多只能放入两个炮.看这个数据范围,可以想到DP.

那么该如何设置状态呢?

一开始我有个错误的思路,我用\(f[i][j][k][l]\)表示到第\(i\)行第\(j\)列的位置,在第\(i\)行放了\(k\)个炮,第\(j\)行放了\(l\)个炮,\((k,l \in [0,2])\).但是这样显然是错误的.因为有些状态是重复的,那么在统计答案的时候就无法计算总数.

那么该如何改进呢?

显然什么棋子放入格子的时间与最终答案是没有影响的,最后的答案只和棋子放在哪些位置有关.但是这个位置事实上也是只需要用来考虑合法方案数的,也就是说我并不需要知道每个炮具体是放在哪个位置,我只需要知道这一行还能够放入几个来对答案作贡献.

我们设状态\(f[i][j][k]\)表示到第\(i\)行,有\(j\)列放了1个棋子,有\(k\)列放了2个棋子.那么在新枚举一行的时候,就会有这样的情况:

• 这一行不放棋子.
• 放一个棋子放在没有棋子的一列.
• 放一个棋子放在已经放了一个棋子的一列.
• 放两个棋子都放在没有棋子的两列.
• 放一个棋子在没有棋子的一列,再放一个棋子放在有一个棋子的一列.
• 两个棋子都放在有一个棋子的一列.

那么这些状态都是可以对当前这一行的答案做出贡献的,在枚举的时候把这些状态都加进来就可以了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100+5;
const int yyj=9999973;
typedef int _int;
#define int long long

int n, m, f[N][N][N], ans = 0;

_int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
 	cin >> n >> m;

	f[0][0][0] = 1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
			for(int k=0;j+k<=m;k++){
				(f[i][j][k] += f[i-1][j][k]) %= yyj;
				if(j) (f[i][j][k] += f[i-1][j-1][k]*(m-k-j+1)) %= yyj;
				if(k) (f[i][j][k] += f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)) %= yyj;
				if(j >= 2) (f[i][j][k] += f[i-1][j-2][k]*(m-j-k+2)*(m-j-k+1)/2) %= yyj;
				if(k >= 2) (f[i][j][k] += f[i-1][j+2][k-2]*(j+2)*(j+1)/2) %= yyj;
				if(k) (f[i][j][k] += f[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)*j) %= yyj;
			}
			
	for(int i=0;i<=m;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
			(ans += f[n][i][j]) %= yyj;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}