[HAOI2007] 理想的正方形

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题目描述

有一个ab的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个nn的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行为3个整数，分别表示a,b,n的值

第二行至第a+1行每行为b个非负整数，表示矩阵中相应位置上的数。每行相邻两数之间用一空格分隔。

输出格式：

仅一个整数，为ab矩阵中所有“nn正方形区域中的最大整数和最小整数的差值”的最小值。

输入输出样例

输入样例#1：

5 4 2
1 2 5 6
0 17 16 0
16 17 2 1
2 10 2 1
1 2 2 2

输出样例#1：

1

说明

问题规模

（1）矩阵中的所有数都不超过1,000,000,000

（2）20%的数据2<=a,b<=100,n<=a,n<=b,n<=10

（3）100%的数据2<=a,b<=1000,n<=a,n<=b,n<=100

一句话题意: 在一个\(n*m\)的矩阵中找一个大小为\(k\)的正方形使得这个正方形内的最大值与最小值的差值最小.

题解: 首先分析一下数据范围,显然这个算法的复杂度是\(O(n^2)\)的,然而这里需要统计的是最值,无法使用前缀和,所以这里考虑使用单调队列来维护.

既然是一个正方形,那么很显然在枚举到这个正方形的左上角的顶点的时候,这个正方形就已经可以确定了.所以我们可以竖着先求一遍最大/最小值,然后再用这个最大/最小值来求出一个正方形中的最大/最小值.

这里将每个位置向下\(k\)格的最大值/最小值用\(Mx[i][j]/Mn[i][j]\)存起来(即\(Mx[i][j] = max(a[i][j], a[i+1][j], ... , a[i+k-1][j])\), \(Mn[i][j]\)同理).

其实说白了就是先将每个位置求出连续的\(k\)个,也即是竖着求一遍滑动窗口,然后把这些连续的\(k\)个都看做一个个的格子,再横着求一遍滑动窗口.这个可以好好想想为什么.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000+5;
const int inf=2147483647;

int n, m, k, a[N][N], Mx[N][N], Mn[N][N], mx[N], mn[N], h1, t1, h2, t2, ans = inf;

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m >> k;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1; j<=m; j++)
			cin >> a[i][j];
	
	for(int i=1; i<=m; i++){//竖着求最大值,保存到Mx[i][j]/Mn[i][j]中
		h1 = h2 = 1, t1 = t2 = 0;
		for(int j=1; j<=n; j++){
			while(h1 <= t1 && a[mx[t1]][i] <= a[j][i]) t1--;
			while(h2 <= t2 && a[mn[t2]][i] >= a[j][i]) t2--;
			mx[++t1] = mn[++t2] = j;
			while(h1 <= t1 && mx[h1]+k <= mx[t1]) h1++;
			while(h2 <= t2 && mn[h2]+k <= mn[t2]) h2++;
			if(j >= k) Mx[j-k+1][i] = a[mx[h1]][i], Mn[j-k+1][i] = a[mn[h2]][i];
		}
	}
	
	for(int i=1; i<=n-k+1; i++){
		h1 = h2 = 1, t1 = t2 = 0, mx[t1] = mn[t2] = 0;
		for(int j=1; j<=m; j++){
			while(h1 <= t1 && Mx[i][mx[t1]] <= Mx[i][j]) t1--;
			while(h2 <= t2 && Mn[i][mn[t2]] >= Mn[i][j]) t2--;
			mx[++t1] = mn[++t2] = j;
			while(h1 <= t1 && mx[h1]+k <= mx[t1]) h1++;
			while(h2 <= t2 && mn[h2]+k <= mn[t2]) h2++;
			if(j >= k) ans = min(ans, Mx[i][mx[h1]]-Mn[i][mn[h2]]);
		}
	}
	
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}