[SCOI2010]股票交易
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题目描述
最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。
通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。
另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。
在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？
输入输出格式
输入格式：
输入数据第一行包括3个整数，分别是T，MaxP，W。
接下来T行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示APi，BPi，ASi，BSi。
输出格式：
输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。
输入输出样例
输入样例#1：
5 2 0
2 1 1 1
2 1 1 1
3 2 1 1
4 3 1 1
5 4 1 1
输出样例#1：
3
说明
对于30%的数据，0<=W<T<=50,1<=MaxP<=50
对于50%的数据，0<=W<T<=2000,1<=MaxP<=50
对于100%的数据，0<=W<T<=2000,1<=MaxP<=2000
对于所有的数据，1<=BPi<=APi<=1000,1<=ASi,BSi<=MaxP
一句话题意: 每天最多可以买进\(as_i\)张股票,卖出\(bs_i\)张股票,但是每个时刻手中的票最多都只能有\(maxp\)张,每买入一张股票可以获得\(ap_i\)元,卖出一张股票可以获得\(bp_i\)元,且如果第\(i\)天进行了交易,那么从第\(i+1\)到第\(i+w\)天都不能再进行交易,问到第\(n\)天最多可以获得的价值.
题解: 这个数据范围显然是能DP的.我们先想一下状态该如何定义.
首先根据这个状态转移的条件,有交易的天数限制,所以显然是需要一维来存交易到第几天的.然后是对于手中持有的股票数量的限制,显然至少是需要一重循环来枚举目前手中持有的股票数量的,所以考虑将这个也加入状态中.可得状态\(f[i][j]\)表示到第\(i\)天手中持有\(j\)张股票的最大利益.那么最后的答案就是
\(f[n][0]\),因为显然在最后一天把所有股票都卖出不会比留着股票差.
然后想一下如何转移这个状态.那么从上一个状态到现在的状态\(f[i][j]\),显然只有这几种情况:
- 第\(i-1\)天没有买/卖股票,第\(i\)天的最大收益为\(f[i-1][j]\).
- 第\(i-w-1\)天进行了股票的买卖且拥有\(k(k<j)\)张股票,第\(i\)天有股票\(j\)张,此时买入了\(j-k\)张股票,可得最大收益为\(f[i][j] = max(f[i][j], f[i-w-1][k]-(j-k)*ap[i])\)
- 第\(i-w-1\)天进行了股票的买卖且拥有\(k(k>j)\)张股票,第\(i\)天有股票\(j\)张,此时卖出了\(k-j\)张股票,可得最大收益为\(f[i][j]=max(f[i][j], f[i-w-1][k]+(k-j)*bp[i])\)
此外没有别的转移方式了,所以可以列出状态转移方程.
那么考虑了状态转移之后,仔细想想发现这个时间复杂度是\(O(T*maxp^2)\)的,显然这样是不能过100%的数据的.所以需要使用一些优化.
这里我们将这个状态转移方程展开一下,发现:
也就是说,在枚举了\(i,j\)的情况下,\(i,j\)是可以看做常数的,那么此时对答案有影响的就只有\(k\)了 .并且我们发现, 如果\(j\)是以正确的顺序枚举的,那么\(k\)也就是逐渐在平移的了.比如说买入股票,那么拥有的股票也就会越来越多,卖出的话拥有的股票就会越来越少,事实上这个是符合 单调队列优化的条件的,所以我们可以考虑将目前拥有的股票数存入单调队列中,优化后复杂度为\(O(T*maxp)\).
当然分开和卖出的两种情况是要分开使用队列的,因为他们各自具有单调性,但是合起来并没有.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000+5;
int n, maxp, w, ap[N], bp[N], as[N], bs[N], ans = 0;
int f[N][N], h1, h2, t1, t2, q1[N], q2[N];
int main(){
cin >> n >> maxp >> w;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin >> ap[i] >> bp[i] >> as[i] >> bs[i];
memset(f, 128, sizeof(f)); f[0][0] = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=maxp;j++)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j]);
for(int j=0;j<=as[i];j++)
f[i][j] = max(f[i][j], -1*j*ap[i]);
if(i <= w) continue;
h1 = h2 = 1, t1 = t2 = 0;
for(int j=0;j<=maxp;j++){
while(h1 <= t1 && f[i-w-1][q1[t1]]-ap[i]*(j-q1[t1]) <= f[i-w-1][j]) t1--;
while(h1 <= t1 && j-q1[h1] > as[i]) h1++;
q1[++t1] = j;
if(h1 <= t1) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-w-1][q1[h1]]-(j-q1[h1])*ap[i]);
}
h1 = h2 = 1, t1 = t2 = 0;
for(int j=maxp;j>=0;j--){
while(h2 <= t2 && f[i-w-1][q2[t2]]+bp[i]*(q2[t2]-j) <= f[i-w-1][j]) t2--;
while(h2 <= t2 && q2[h2]-j > bs[i]) h2++;
q2[++t2] = j;
if(h2 <= t2) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-w-1][q2[h2]]+(q2[h2]-j)*bp[i]);
}
}
printf("%d\n", f[n][0]);
return 0;
}
