[洛谷P3957] 跳房子

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题目描述

跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下：

在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画 \(n\) 个格子，这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字（整数），表示到达这个 格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳，跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。规则规定：

玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小 \(R\) 研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的 \(d\) 。小 \(R\) 希望改进他的机器人，如果他花 \(g\) 个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加 \(g\) ，但是需要注意的是，每 次弹跳的距离至少为 \(1\) 。具体而言，当 \(g<d\) 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 \(d-g,d-g+1,d-g+2\) ，…， \(d+g-2\) ， \(d+g-1\) ， \(d+g\) ；否则（当 \(g \geq d\) 时），他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 \(1\) ， \(2\) ， \(3\) ，…， \(d+g-2\) ， \(d+g-1\) ， \(d+g\) 。

现在小 RRR 希望获得至少 \(k\) 分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

输入输出格式

输入格式：

第一行三个正整数 \(n\) ， \(d\) ， \(k\)，分别表示格子的数目，改进前机器人弹跳的固定距离，以及希望至少获得的分数。相邻两个数 之间用一个空格隔开。

接下来 \(n\) 行，每行两个正整数 \(x_i,s_i\)​ ，分别表示起点到第 \(i\) 个格子的距离以及第 \(i\) 个格子的分数。两个数之间用一个空格隔开。保证 \(x_i\)​ 按递增顺序输入。

输出格式：

共一行，一个整数，表示至少要花多少金币来改造他的机器人。若无论如何他都无法获得至少 \(k\) 分，输出 −1 。

输入输出样例

输入样例#1：

7 4 10
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

输出样例#1：

2

输入样例#2：

7 4 20
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

输出样例#2：

-1

说明

【输入输出样例 1 说明】

花费 2 个金币改进后， 小 R 的机器人依次选择的向右弹跳的距离分别为 2， 3， 5， 3， 4，3， 先后到达的位置分别为 2， 5， 10， 13， 17， 20， 对应 1, 2, 3, 5, 6, 7 这 6 个格子。这些格子中的数字之和 15 即为小 R 获得的分数。

输入输出样例 2 说明

由于样例中 7 个格子组合的最大可能数字之和只有 18 ，无论如何都无法获得 20 分

数据规模与约定

本题共 10 组测试数据，每组数据 10 分。

对于全部的数据满足 \(1 ≤ n ≤ 500000, 1 ≤ d ≤2000, 1 ≤ x_i, k ≤ 10^9, |si| < 10^5\) 。

对于第 1， 2 组测试数据， n ≤ 10；

对于第 3， 4， 5 组测试数据， n ≤ 500

对于第 6， 7， 8 组测试数据， d = 1

一句话题意: 不花钱每次可以走\(d\)的距离,一开始在0的位置,到达一个位置就可以获得这个位置的权值,花\(g\)个金币就可以走\([max(1, d-g), d+g]\)的距离(必须要走到一个正好有一个点的位置才能走),问至少要花多少个金币才能在任意位置获得大于等于\(k\)的权值,如果不能则输出-1.

题解: 首先看着这个神奇的花费,应该想到的是二分,因为这个移动的距离是与金币的使用量有关的,金币使用得越多则可以走到的距离也就越多,事实上这个是具有单调性的,所以二分来枚举答案.

然后我们来考虑一下如何验证.显然直接枚举可以转移状态的所有情况需要\(O(n^2)\)的时间复杂度.所以这考虑优化.因为这个可转移的状态也是可以递推的,也就是说假设有一个状态先\(x\)无法转移到状态\(y\),且状态\(z\)在\(y\)之后,那么\(x\)就一定无法转移\(z\)(这里的状态指的是第几个点,也就是第几个位置).那么根据这个性质可以用单调队列来优化.

如果单调队列不会写,可以先看看这道题:滑动窗口

那么以滑动窗口的思想来理解的话,就是把所有\({pos[j]+max(1, d-g) < pos[i] ≤ pos[j]+d+g\)的点都加入单调队列中,然后取加入这些点之后的最大值来更新\(i\).

最后在判断更新的时候还要判断当前队列中有元素且不为-inf(赋的最小值).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500000+5;
const int inf=2147483647;

int n, d, k, p[N], w[N], ans = -1, q[N];
int f[N], h, t;

int gi(){
    int ans = 0, f = 1; char i = getchar();
    while(i<'0'||i>'9'){if(i=='-')f=-1;i=getchar();}
    while(i>='0'&&i<='9'){ans=ans*10+i-'0';i=getchar();}
    return ans * f;
}

void push(int x){while(f[q[t]] <= f[x] && h <= t) t--; q[++t] = x;}

bool check(int mid){
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i] = -inf; f[0] = 0;
    h = 1, t = 0, q[h] = 0; int s = 0, mx = d+mid, mn = max(1, d-mid);
    for(int i=1;i<=n;i++){
	    while(p[s]+mn <= p[i] && s < i) push(s++);
	    while(h <= t && p[q[h]]+mx < p[i]) h++;
	    if(h <= t && f[q[h]] != -inf) f[i] = f[q[h]]+w[i];
	    if(f[i] >= k) return true;
    }
    return false;
}

int main(){
    n = gi(), d = gi(), k = gi();
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i] = gi(), w[i] = gi();
    int l = 1, r = 1000000000;
    while(l <= r){
	    int mid = (l+r>>1);
	    if(check(mid)) r = mid-1, ans = mid;
	    else l = mid+1;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}