[洛谷P3181] [HAOI2016]找相同字符

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题目描述

给定两个字符串，求出在两个字符串中各取出一个子串使得这两个子串相同的方案数。两个方案不同当且仅当这两个子串中有一个位置不同。

输入输出格式

输入格式：

两行，两个字符串s1，s2，长度分别为n1，n2。1 <=n1, n2<= 200000，字符串中只有小写字母

输出格式：

输出一个整数表示答案

输入输出样例

输入样例#1：

aabb
bbaa

输出样例#1：

10

题意: 将\(s2\)接在\(s1\)的后面,问$$\sum _{i\in[1,n1],j\in[n1+1,n1+n2]}lcp(suffix(i),suffix(j))$$

题解: 首先考虑如何求出任意两后缀的\(LCP\)(例题[AHOI2013]差异),首先我们知道\(LCP(i, j) = min\{lcp(k-1, k)\},k\in [i+1, j]\).也就是我们可以通过ST表预处理\(height\)数组的最小值,然后对于两个后缀\(O(1)\)查询.然而这里枚举两个后缀的时间复杂度是\(O(n^2)\)的,也就是说这样求是不行的.

我们再观察一下这个式子:\(LCP(i, j) = min\{lcp(k-1, k)\},k\in [i+1, j]\),可以发现,如果我们求出\(i\)左边第一个小于\(height[i]\)的位置\(L[i]\),右边第一个小于等于\(height[i]\)的位置\(R[i]\),那么左边的\([L[i],i]\)这个区间内的点作为起点的后缀都可以和右边\([i,R[i]]\)内的点为起点的后缀进行组合,且他们的\(LCP\)的长度都是\(height[i]\),那么这样我们就得到了一个单调栈求任意两后缀的\(O(n)\)做法.

那么如果将\(s2\)接在\(s1\)的后面,求一下任意两后缀的\(LCP\)之和,那么总答案就被统计出来了.

然而这样统计的话会有个问题:\(s1\)内的后缀互相匹配,\(s2\)内的后缀也互相匹配,导致答案增加,所以我们要减掉这一部分的答案.

然而这样统计依然有问题.我们考虑这样两个串:\(s1="aaaa",s2="aaaa\),那么在\(s2\)接在\(s1\)后面之后,在\(s1\)内的后缀互相匹配时会加上一部分\(s2\)的长度.为了保证\(s1\)内互相匹配时不会受到\(s2\)的印象,我们可以在\(s1,s2\)之间接一个不会出现的字符,这样再统计答案就可以了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 4e5+5;
typedef int _int;
#define int long long

int n, m, l1, l2, L[N], R[N], stk[N], top = 0, ans = 0;
int sa[N], rk[N], sec[N], buk[N], height[N];
char s1[N], s2[N], s[N];

void rsort(){
    for(int i = 0; i <= m; i++) buk[i] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) buk[rk[i]]++;
    for(int i = 1; i <= m; i++) buk[i] += buk[i-1];
    for(int i = n; i >= 1; i--) sa[buk[rk[sec[i]]]--] = sec[i];
}

void SuffixArray(){
    for(int i = 1; i <= n; i++) rk[i] = s[i], sec[i] = i;
    int cnt = 0; m = 300, rsort();
    for(int l = 1; l <= n && cnt < n; l <<= 1){
        cnt = 0;
        for(int i = 1; i <= l; i++) sec[++cnt] = n-l+i;
        for(int i = 1; i <= n; i++) if(sa[i] > l) sec[++cnt] = sa[i]-l;
        rsort(); swap(sec, rk), rk[sa[1]] = cnt = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            rk[sa[i]] = (sec[sa[i]] == sec[sa[i-1]] && sec[sa[i]+l] == sec[sa[i-1]+l]) ? cnt : ++cnt;
        m = cnt;
    }
}

void get_height(){
    int j, k = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(k) k--;
        j = sa[rk[i]-1];
        while(s[i+k] == s[j+k]) k++;
        height[rk[i]] = k;
    }
}

int solve(){
    memset(L, 0, sizeof(L)), memset(R, 0, sizeof(R));
    memset(sa, 0, sizeof(sa)), memset(rk, 0, sizeof(rk));
    memset(height, 0, sizeof(height));
    memset(sec, 0, sizeof(sec));
    SuffixArray(), get_height();
    int res = 0; stk[top = 0] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        while(top && height[stk[top]] >= height[i]) top--;
        L[i] = stk[top], stk[++top] = i;
    }
    stk[top = 0] = n+1;
    for(int i = n; i >= 2; i--){
        while(top && height[stk[top]] > height[i]) top--;
        R[i] = stk[top], stk[++top] = i;
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++) res += height[i]*(i-L[i])*(R[i]-i);
    cerr << "res=" << res << endl;
    return res;
}

_int main(){
    scanf("%s%s", s1+1, s2+1), l1 = strlen(s1+1), l2 = strlen(s2+1);
    for(int i = 1; i <= l2; i++) s[i] = s2[i];
    n = l2; ans -= solve();
    for(int i = 1; i <= l1; i++) s[i] = s1[i];
    n = l1; ans -= solve();
    for(int i = 1; i <= l2; i++) s[i+l1+1] = s2[i];
    s[l1+1] = '#', n = l1+l2+1; ans += solve();
    cout << ans << endl;
    return 0;
}