【学习小记】支配树【图论】
Preface
给定一个有向图和一个起点\(st\)，我们需要知道起点到某个点的关于必经点的信息。
若起点到点v的所有路径均经过点u，则我们称点u支配点v，显然一个点支配自己本身
顾名思义，支配树就是由某些支配关系构成的树。
定义
约定一些记号
\((u,v)\)，表示一条从u到v的有向边
\(fa(u)\)，表示\(u\)在DFS树上的父亲。
\(dfn(i)\)为从\(st\)开始DFS整个图，\(i\)号点的\(dfs\)时间戳。
\(Path(u,v)\)，表示DFS树上\(u\)到\(v\)的路径上的点集
\(Path(u,v)/u\)表示路径上点集中除去点\(u\)剩余的集合
我们定义一个点\(u\)的最近支配点\(idom(u)\)，它支配\(u\)，且它也被除u以外的所有支配u的点支配
性质
显然\(idom(u)\)唯一存在，且若我们重新建一个图，所有的\(idom(u)\)与\(u\)连一条边，那么这个新图是一棵以\(st\)为根的树，也就是说\(idom\)不会成环（可以用反证法简单证明）。
这棵树就是我们说的支配树。
\(idom(u)\)一定是\(u\)在\(dfs\)树上的祖先。（一样可以反证法简单证明）
问题就是要求出\(idom\)。
求解
为了求出\(idom\)，我们引入半必经点的概念。
半必经点
回归tarjan求强连通分量的算法，我们来观察DFS过程中会出现哪些边。
- 树边，DFS树上的父亲——儿子边。
- 后向边，祖先向后代连的非树边的边。
- 返祖边，DFS序大的后代向DFS序小的祖先连的边
- 横叉边，DFS序大的点向DFS序小的点连的边，且没有祖先后代关系。
容易证明不存在上面四种边以外的边。
记\(semi(u)\)表示从\(u\)开始，沿着边反着走，能够中途不经过u的祖先，最后到达的深度最浅(\(dfn\)最小)的\(u\)的祖先。
形式化的，\(semi(u)\)是\(u\)的祖先，且存在原图中的一条路径\(p_1...p_k\)，\(p_1=semi(u),p_k=u，\forall_{i=2}^{k-1}dfn(p_i)>dfn(u)\)
可以发现这两种定义是等价的，因为不可能通过反向边走到DFS序更小的且不是祖先的点去。
我们考虑它可能怎么走，要么通过树边/后向边的反向边直接走到一个祖先，要么通过返祖边/横叉边的反向边走到某些\(dfn\)更大的点\(pre_u\)，然后在\(Path(st,pre_u)\)上找一个\(w\)，满足\(dfn(w)\geq dfn(u)\)，所有的\(semi(w)\)的最浅的那个就用来更新\(semi(u)\)。
可以发现最浅的\(semi(w)\)一定是\(u\)的祖先，因此我们不必担心不合法的问题。
那么我们就得到了\(semi\)的求法，按照DFS序倒序枚举所有点\(u\)，按照上面的做法来不断更新，查询祖先可以用带权并查集来做，求出一个点的\(semi\)之后将它的所有树边儿子与它合并即可。
问题在于求\(idom\)
我们考虑\(v\in Path(semi(u),u)/semi(u)\)，找到\(semi(v)\)最浅的一个。
有定理：若\(semi(v)=semi(u)\)，则\(idom(u)=semi(u)\)，否则\(idom(u)=idom(v)\)
这个定理请自行理解...我也不会证
有了这个定理之后我们可以将\(u\)挂在\(semi(u)\)上，扫到\(semi(u)\)的时候就找到\(u\)相应的\(v\)，若\(semi(u)=semi(v)\)就直接\(idom(u)=semi(u)\)，否则因为此时\(idom(v)\)还没有求出来，我们可以先将\(idom(u)\)指向\(v\)，最后全部都做完以后按照DFS序正序扫一遍将这部分的\(idom(u)\)改成\(idom(idom(u))\)即可。
时间复杂度\(O(n\log n)\)（因为不能按秩合并）
Code
洛谷P5180，支配树模板题。
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 200005
#define M 300005
using namespace std;
vector<int> pre[N];
int fs[N],nt[M],dt[M],pr[M],n,m,m1;
int semi[N],idom[N],ft[N],fp[N],dfn[N],dfw[N],fa[N];
vector<int> ids[N];
int gmin(int x,int y)
{
return (!y||(dfn[x]<dfn[y]&&x))?x:y;
}
void link(int x,int y)
{
nt[++m1]=fs[x];
dt[fs[x]=m1]=y;
}
void dfs(int k)
{
dfw[dfn[k]=++dfn[0]]=k;
for(int i=fs[k];i;i=nt[i])
{
int p=dt[i];
if(!dfn[p]) fa[p]=k,dfs(p);
if(dfn[k]<dfn[p]) semi[p]=gmin(semi[p],k);
else pre[p].push_back(k);
}
}
int getf(int k)
{
if(!ft[k]||ft[k]==k) return k;
int p=getf(ft[k]);
fp[k]=(dfn[semi[fp[k]]]<dfn[semi[fp[ft[k]]]])?fp[k]:fp[ft[k]];
return ft[k]=p;
}
int fd(int k)
{
getf(k);return fp[k];
}
void merge(int x,int y)
{
int fx=getf(x),fy=getf(y);
ft[fy]=fx,fp[fy]=(dfn[semi[fp[fy]]]<dfn[semi[fp[fx]]])?fp[fy]:fp[fx];
}
void make()
{
fod(i,n,1)
{
int k=dfw[i];
if(i>1)
{
for(int u:pre[k])
{
int v=fd(u);
semi[k]=gmin(semi[k],semi[v]);
}
ids[semi[k]].push_back(k);
}
for(int u:ids[k])
{
int v=fd(u);
idom[u]=(semi[v]==k)?k:v;
}
fp[k]=k;
for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) if(fa[dt[i]]==k) merge(k,dt[i]);
}
for(int i=2,k=dfw[2];i<=n;++i,k=dfw[i]) if(idom[k]!=semi[k]) idom[k]=idom[idom[k]];
}
int sz[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
fo(i,1,m)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
link(x,y),pre[y].push_back(x);
}
dfs(1);
make();
fod(i,n,1)
{
sz[dfw[i]]++;
sz[idom[dfw[i]]]+=sz[dfw[i]];
}
fo(i,1,n) printf("%d ",sz[i]);
}
