OI中一些常见实用的套路【更新中】

数据结构

• 在维护树上路径时，如果只是点的独立的加减，可以考虑用括号序来维护（拆成两部分）
• 需要求树上很多路径中k近/距离和 一类，考虑点分治/在点分树上解决。
• 子树求和可以转化为DFS序上区间求和
• 树状数组可以区间查询/修改（差分）
• 需要查询序列上区间数据结构，只要满足总和是可以接受的范围，可以用线段树，每个区间维护一个这样的数据结构（例如AC自动机等）
• 多维偏序问题，排序可以降维，CDQ分治可以降维，剩下只需要树状数组/线段树
• 树上连通块有概率出现，再加上和的次方，往往可以拆开来，变成任意选K个可重，有序的点，考虑贡献。
• 当又需要分块，每个块维护数据结构时，块的大小考虑调整（不再一定是\(\sqrt n\)）（平衡规划）
• 同理，对于图论中度数总和固定、多组询问查询的点数固定，查询点需要枚举出边，但可能一直查询度数比较大的点。此时考虑平衡规划。（询问点个数/度数 大于/小于\(\sqrt n\)分开来做）
• 对于点分治时两个不同的子树的结果混在一起需要判掉，可以考虑几种办法：
  • 在点分树上儿子记录当前点分树子树中的节点到父亲的结果，计算父亲时在这里减去。
  • 维护DFS序，两个子树对应两个无交的区间，可以考虑区间分裂一类的做法。
• 对于有很多颜色的点，需要对相同颜色计算影响，可以把每个颜色拉出来在DFS序上搞事情（相邻+1，lca-1一类）
• 如果又加上了深度限制，那么相当于除了DFS序这一维，还多出了深度这一维，可以考虑（主席树/CDQ分治/二维数据结构）
• 对于这样一类问题：每个元素（边/点之类）具有权值/权值范围，每次只需要考虑权值是一定值/一定范围的元素的影响，可以考虑建立权值线段树，将元素的影响挂在线段树对应的所有区间上，查询就查询区间。
• 当需要查询树上是否存在一条路径过两个点时，可以将路径端点记在DFS序上，然后两点子树查询，这就变成了两个区间数点的问题（二维偏序/扫描线/DFS动态树状数组维护增量）
• 需要维护序列轮转问题时，不一定非要splay，如果轮转很特殊时可以采用线段树+预留空位的形式转化为单点修改。
• 想要存储很多东西的0/1状态，且需要支持xor/or/and等操作时，bitset是个非常好的选择（计算复杂度可以除以32），别忘了bitset还有左移右移操作，可以用来处理+或-
• 替罪羊树跑的很快。
• 带旋转的平衡树是很难在内层套上线段树的，所以平衡树套线段树应考虑替罪羊树或treap
• 一堆操作+询问的题，如果很容易处理一堆操作对一堆询问的贡献，可以考虑分治，你可以考虑权值/时间分治
• 一棵Trie如果要维护+1异或，那么不妨从低位到高位建Trie
• 线段树分治往往应用在一些对象知道插入和删除时间时，维护合法情况很容易，但撤销非法情况比较困难时。
• 要算一个点和一堆点的距离的时候，可以考虑将距离拆成两点深度和-2*lca深度，lca深度可以表示成lca到根的节点数，那么直接树链剖分链上区间加区间求和即可。

图论

• 求点双连通分量栈中仍然可以存点，圆方树维护起来很方便。
• 无向图中最大值最小的路径一定在最小生成树上
• 合并两个连通块的直径，直接比较四个端点两两连起来的长度即可。
• 一些有代价的完美覆盖问题，选格子有行列限制有代价/收益的题往往考虑网络流。

多项式

• 碰到诸如\(\prod\limits_{i=1}^{n}(1+p^ix)\)的时候，先不急着分治NTT，它既可以多项式ln+exp，又可以倍增。显然倍增更快。

其他

• 如果遇到\(n^3\)的转移矩阵，但是我们一次只想知道的结果是一维的（即暴力乘的复杂度是\(n^2\)），那么可以考虑倍增预处理转移矩阵的幂，求出转移矩阵\(2^0,2^1,2^2...\)次的结果。询问的时候只需要\(n^2\log\)而不是\(n^3\log\)，预处理则是\(n^3\log\)，总的复杂度就可以变成\(q*n^2\log+n^3\log\)
• DP时，如果状态很大，结果很小，可以考虑能否将结果与状态互换。
• 涉及网格图带权，行列选择限制/覆盖一类的问题，可以考虑网络流。
• 一个经典问题：有一个序列，给出若干个区间，问有多少种选法使得选出的区间能覆盖整个序列。 我们考虑容斥，显然容斥系数是(-1)^强制不覆盖的位置个数，记f[i]为前i个位置都已经确定了,第i个位置不选的方案数和，它可以从\(f[j]*(-1)* 2^k\)转移而来，我们把所有区间挂在右端点，从左到右扫的时候做区间乘法即可。