坑爹的黑店
坑爹的黑店
题目信息
题目备注
- 题目出处：程序设计大赛
- 题目类型：数学推导
题目描述
今天小明去了一个风景如画的地方散心，但是自己带的饮料喝完了，小明口渴难耐，见不远处有家小商店，于是跑去买饮料。
小明：“我要买饮料！”
店主：“我们这里有三种饮料，矿泉水1.5元一瓶，可乐2元一瓶，橙汁3.5元一瓶。”
小明：“好的，给我一瓶矿泉水。”
说完他掏出一张N元的大钞递给店主。
店主：“我忘了提醒你了，我们这里没有找客人钱的习惯的，多的钱我们都当小费收了的，嘿嘿。”
小明：“......”
小明环顾四周，就这一家商店，况且实在太渴了，就决定在这买了。不过小明想，与其把钱当小费送给他还不如自己多买一点饮料，反正早晚都要喝，但是要尽量少让他赚小费。
现在小明希望你能帮他计算一下，最少他要给店主多少小费。
输入
输入数据的第一行是一个整数T(1<=T<=100)，代表测试数据的数量。然后是T行测试数据，每个测试数据只包含一个正整数N（1<=N<=10000），N代表小明手中钞票的面值，以分为单位。
注意：商店里只有题中描述的三种饮料。
输出
对于每组测试数据，请你输出小明最少要浪费多少钱给店主作为小费，以分为单位。
样例输入
2
900
250
样例输出
0
50
题解
我的题解
1.初步分析
这道题我在刚拿到手的时候认为这是一道贪心算法，因此使用贪心算法做了一遍，结果做不出来，因为这道题实际上并不是一道贪心算法题，而是一道数学分析题。现在我们来从头到尾重新分析这道题。
有三种饮料，分别为1.5元，2元，3.5元，我们有n元钱来买饮料，因为剩下的钱就是小费，因此我们要尽量剩下更少的钱。这道题乍一看确实非常具备成为贪心的潜质，但经过仔细思考之后，我们其实可以发现这道题实际上不是贪心，因为在这道题中，体现出的中心思想是：我们如何让这三个价格组合，进而使它们的价格加和更加接近我们手里的钱，这里侧重的是组合，而且在这道题中饮料并没有上限，这代表我们可以贪欲无穷，在实际生活中，贪欲是由于缺乏导致的，而当我们不缺乏东西，我们的资源是无限的时候，贪欲自然变得没有意义。而在算法题中，当我们选择的东西资源是无限的时候，贪心算法往往需要谨慎的使用，在这里我们就不能使用贪心算法，就和现实生活中一样，我们缺乏的时候往往会由着自己的性子贪婪的能多拿一点算一点；而当我们的资源无限了，我们就需要小心谨慎的分析了，我们应该拿什么，怎么拿，拿多少才对我有好处。
在这道题中我一开始的思路就是贪心算法，我的思路是先疯狂的拿最贵的，然后剩下的钱买不起最贵的之后，就开始拿第二贵的，知道最后的钱连最便宜的饮料也买不起之后，方可结束，这个思路乍一听是没问题的，但是在这个问题中确是错误的：当我们有4块5的时候，我们首先买一瓶3块5的橙汁，还剩下1块钱，然后这1块钱就什么也买不起了，给店家消费1块钱；然而事实是我们可以直接买三平1块5的水，一分小费也不给。使用我这种算法就解决不出来。当我测到这里的时候，我开始怀疑我贪心的方法不对了，诚然我贪心的方法确实不对，因为此时我贪心的不是省钱，而是尽量获得更多昂贵的饮料，这并没有从省钱上考虑，因此我在此时直接换了方向。我下一个贪心的方向换成了我要尽量剩下更少的钱，而我们如何剩下更少的钱呢？我们可以先计算一下我们一直买第一种饮料，一直买第二种饮料，一直买第三种饮料三种情况下剩下的钱最少的情况，然后选择剩下钱最少的那种情况作为第二轮购买的初始金额，这样一来我就能找到最少的策略。这个思路听上去更加靠谱了，但是其时间复杂度也增加了不少，而且，其也能找到错误样例。当我们有6块5的时候，使用我的算法首先会尝试一直购买1块5的饮料的策略，这时会剩下0.5块钱，在尝试只买2块的饮料的时候也会剩下0.5块钱，购买第三种饮料的时候时剩下3块钱，这个策略就会直接被淘汰，然后使用剩下0.5块钱的策略继续计算，然而0.5块钱啥也买不了，因此就留作小费了，但实际上，我们有一个3.5+1.5+1.5 = 6.5的策略不剩下任何小费，但是这个策略就被我忽略了。
最后我的贪心算法宣布破产，而我最后我也给出了一个最终方案，就是使用递归继续回溯式的策略枚举，这个方法应该可行，但是由于时间复杂度我就没有尝试，以后留作大家的谈资吧。
2.正式分析
在初步分析基本上错误之后我逐渐得到了正确的结论，这个题的中心思想是我如何得到一个能够让我剩下的钱更少的策略，而不是通过贪心一直得到什么。我们可以将这个问题抽象成一个更加简单的数学模型：用几个数字拼凑成一个更加接近某数的大数。在这个过程中我们会经常用到取模的思想，我们从简单方法类推：当我们想让一个数字通过自身的叠加，进而接近另一个数字的时候，我们往往会使用取模的方式得到叠加次数；当这个数字变成了两个，问题就变得复杂化了，但是我们仍然可以使用数学分析来解决这个问题，我们举一个例子，我们想通过叠加4和6，来接近25，我们如何叠加？我们首先找到4和6的最大公因数，是2，然后我们让4和6都除2，为2和3，2和3两个数字组合，实际上可以组成任何大于3的数字，这是一个神奇的数学规律：当一个奇数和一个偶数进行组合时，可以组合成任何大于最小的数字的数字。而现在我们要为它们的组合乘2，这意味着这两个数字可以组成任何一个大于4的偶数，换言之，当我们手持一个大于4的数字的时候，只要对2求余，剩下的数字就是它们两个组合距离我们手持数字的最短距离。
现在我们将这个数学规律进行推广，对于两个以上的数字，我们找到它们的最大约数A，只要这三个数字除以A有奇数有偶数，我们就可以用这三个数字组合出任意大于这三个数字中最大的A的倍数(保守情况)，当这三个树在除以A相邻的时候，我们可以组合出任意大于这三个数字中最小的A的倍数，而我们想要求一个数字距离这三个数字最近的距离时，直接对A求余即可。
因此在这个问题中，我们的解法为，通过计算得到三个价格的最大公约数(50)，然后我们发现在除以50之后，三个数字并不相邻：3，4，7，但是需要注意的是两个3可以组成6，因此最大的可组合下限是6*50也就是300，因此我们可以得到结论：当我们手持数字大于300的时候，我们可以直接对50进行求余，得到的结果就是三数组合距离我们手持数字的最近距离。而小于这个数字的时候我们需要另行分析。
基于这个数学思想，我们最终可以得到这样的一个代码：
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
int T=scanner.nextInt();
int num=0;
for(int i=0;i<T;i++){
int N=scanner.nextInt();
if(N<150)
System.out.println(N);
else if(N>=300)
System.out.println(N%50);
else if(N==150||N==200)
System.out.println(0);
else if(150<N&&N<200)
System.out.println(N%150);
else
System.out.println(N-200);
}
}
}
上文中的代码是别人写的，以我的思路，还可以将150和200划分到一起，把250这个情况单独拿出来分析也就是：
if(N<150){
System.out.println(N);
}else if(N<=200){
System.out.println(N%50);
}else if(N<300){
System.out.println(N-200);
}else{
System.out.println(N%50);
}
3.最终分析
由于发现了一个疑似数学规律的东西，我和另外一个朋友就此规律进行了比较深入的讨论，我们发现这个规律并不是完全正确的，我们发现我们不能使用最大公约树求所有数字组合的最小距离，实际上我们可以把这个数学规律拆成：两个数字的组合相加，在超过一定限度之后会变得步长为1连续，我们发现了几个数字的组合有这种特性：1和任意数字，2和3，3和4，2和7，3和5，其余则不可，我们发现这些数字都有一个特征：最多有一个偶数，必须都为质数，相加不超过9，除1是特殊情况以外其他的数对都符合这个概念。
需要注意的是这道题还可以使用枚举思想基于动态规划做出来，现在先不讨论这个算法，以后有时间在研究这个动态规划的算法。
其他题解
目前没有学习到其他更加有价值或者更加优秀的解题方法。
