二叉树的某些重要性质浅析

　　二叉树是一种特殊的树结构，由于其具备树的所有特性同时在经过适当的限制后非常具有规律性，因此常被用于算法实现以及操作系统功能的实现。因此，考研数据结构中少不了对于二叉树的考察，经过比较谨慎的学习，我对以下几个二叉树的重要性质做出分析。

　　1.非空二叉树中的叶子结点等于度为2的结点加一

　　设非空二叉树中度为0、1、2的结点个数分别为n₀、n₁和n₂，则n₀ = n₂ + 1。这个规律实际上是由运算得来。

　　假设结点总数为n，则存在 n = n0 + n₁ + n₂；根据树的性质，n = n₁ + 2*n₂ + 1。联立两个方程，我们可以得出 n₀ = n₂ + 1的规律。这个性质十分重要，在选择计算题中经常考察。

　　2.二叉树的第i层最多有2^i-1个结点（i≥1）

　　这是由于当“最多”时，这个二叉树是一个满二叉树，此时它的每层结点数是一个等比数列，我们是根据等比数列递推公式得到的这个结果。这种等比数列的特性实际上是对所有的m叉树都符合，m叉树的第i层有着m^i-1个结点。

　　3.高度为h的二叉树最多有2^h - 1个结点

　　联系上面的第二条性质，这一条性质是它的延申，由于所有层的结点个数是等比数列，那么所有的结点个数当然就是等比数列求和了。这是一个公比为2，首项为1的等比数列，我们需要进行前n项和公式的带入得到结果，前n项和公式为：a（1-qⁿ）/(1-q)，其中a为首项，q为公比，带入相应数字后我们发现结果为2^h - 1。当然同上，所有的m叉树都具有此性质，高度为h的m叉树最多有 (m^h - 1)/(m-1)个结点。

　　4.具有n个（n>0）结点的完全二叉树的高度h为⌈log₂(n+1)⌉ 或 ⌊log₂n⌋+1

　　这个性质基本上是最重要且有点麻烦的性质了，这个性质也是通过其他性质的数学计算得来的。这里是给了我们n个结点，让我们把这n个结点拼成一个完全二叉树，问其高度。值得注意的是完全二叉树不是满二叉树，所以其并不能带到上面的性质3公式中去，性质3是已知高度推出的最大结点数，仅仅给了结点数是万万不可逆推回去的。因此我们得另辟蹊径，从边界值和数学运算上来找出路。

　　⌈log₂(n+1)⌉的证明

　　我们已经知道了有n个结点，此时我们假设这n个结点已经拼成了高度为h的完全二叉树，我们此时需要使用二叉树的性质通过n来求出h，然而经过分析我们已经得知不可通过性质3把n带入逆推出h，所以我们使用边界值来求解。

　　由于我们用n个结点组成了高度为h的完全二叉树，因此n的个数肯定大于高度为h-1的满二叉树的结点数（将高度h-1的满二叉树下按规则再加一个结点就会构成高度为h的完全二叉树）；同时n的个数肯定小于高度为h的满二叉树的结点数。这两个特殊的二叉树的结点都可以通过h来表达，因此我们有：

2^h-1 - 1 < n ≤ 2^h - 1

　　我们进行数学推导，有如下过程：

①   2^h-1 - 1 < n ≤ 2^h - 1

②   2^h-1  < n + 1 ≤ 2^h

③   h - 1 < log₂(n+1) ≤ h

　　事到如今我们可以看出h和n的关系了，此时我们需要通过这个等式来确定h的具体表达式。h - 1和h只差1，然而高度不能取小数，只能从h - 1和h中任取一个，取谁呢？根据不等式我们知道log₂(n+1)肯定不等于h - 1，因为是一个小于号把他们连在了一起，而一个小于等于号把它和h连在了一起。因此它会取较大的h，因为log₂(n+1)可能是个小数，要取较大的h需要向上取整，因此有⌈log₂(n+1)⌉的结果。

　　⌊log₂n⌋+1的证明

　　这个式子的推导其实和上式很相似，只是对于大于等于在哪边的处理有些出入。我们知道了高度为h的满二叉树的结点数为2^h - 1，因此2^h 肯定是大于n的，而2^{h -1}- 1 + 1则小于等于n，因为它相当于在高度为h - 1的满二叉树上又放了一个结点，刚好等于结点数最小的高度为h的完全二叉树，因此得到了完全不同的等式：

2^{h -1} ≤ n <2^h 

　　经过取对数

h - 1 ≤ log₂n ＜ h

　　根据不能取小数的原则，我们最终选择了h - 1，因此经过推导我们得到：h = ⌊log₂n⌋+1。

　　这两个式子在数学的意义上都是根据等于号的位置判定的，实际上它是根据取整原则和边界意义决定的，高度不可能为小数，因此我们需要根据其边界的意义进行取整，这个问题重在理解。