2021.10.20

T1:取石子游戏

Problem:

小林和亮亮正在玩一个取石子的游戏。

石子一共有 n 堆，其中第 i 堆恰好有 i 粒石子。小林先取，亮亮后取，并且两人依次轮流取石。每一次取石子的人可以选择任意一堆还未被取完的石子，并取走这一堆中任意多粒石子（注意，不能一粒石子也不取，也不能同时在多堆石子中取石）。最终，无石可取的人为败。

小林和亮亮都十分聪明，他们的每次取石都会采取最优策略。在经过多次游戏后，小林发现了先手必胜的条件，但他不满足于此，他想知道，在知道石子的堆数 n 后，他第一次取石有多少种方式可以获胜。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct nim{
    int len,value[1010];
    nim(){len=1;memset(value,0,sizeof(value));}
    nim operator =(const char* s){
        len=strlen(s);
        memset(value,0,sizeof(value));
        for(int i=0;i<len;i++){
            value[i]=s[len-i-1]-48;
        }
        return *this;
    }
    nim operator =(const int& x){
        char s[1010];
        sprintf(s,"%d",x);
        *this=s;
        return *this;
    }
    nim operator +(const nim& x) const{
        nim y;
        y.len=max(len,x.len);
        for(int i=0;i<len;i++) y.value[i]=x.value[i]+value[i];
        int k=0;
        for(int i=0;i<y.len;i++){
            k+=y.value[i];
            y.value[i]=k%10;
            k/=10;
        }
        if(k>0){
            y.value[y.len]=k;
            y.len++;
        }
        return y;
    }
    nim operator += (const nim& x){
        *this=*this+x;
        return *this;
    }
    nim operator /= (const int& x){
        int p=0;
        for(int i=len-1;i>=0;i--){
            p=p*10+value[i];
            value[i]=p/x;
            p%=x;
        }
        if(!value[len-1]) len--;
        return *this;
    }
    nim operator *= (const int& x){
        int p=0;
        for(int i=0;i<len;i++){
            p+=value[i]*x;
            value[i]=p%10;
            p/=10;
        }
        if(p>0){value[len]=p;len++;}
        return *this;
    }
    bool operator <=(const nim& x) const{
        if(len!=x.len) return len<x.len;
        for(int i=len-1;i>=0;i--){
            if(value[i]<x.value[i]) return true;
            if(value[i]>x.value[i]) return false;
        }
        return true;
    }
    nim operator -=(const nim& x){
        for(int i=0;i<len;i++) value[i]-=x.value[i];
        for(int i=0;i<len;i++) if(value[i]<0){value[i]+=10;value[i+1]--;}
        while(len>1&&value[len-1]==0) len--;
        return *this;
    }
}a,b;
void writeint(nim x){
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--) printf("%d",x.value[i]);
    printf("\n");
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        char s[1010];
        scanf("%s",s);
        int n=strlen(s);
        if((s[n-1]-48)%2){
            a=s,b=1,a+=b;
            int k=s[n-1]-48+1;
            if(n>1) k+=(s[n-2]-48)*10;
            if(!(k%4)){printf("0\n");continue;}
            a/=2;
            writeint(a);
            continue;
        }
        else{
            b=1;
            a=s;
            while(b<=a) b*=2;
            b/=2;
            a-=b;
            b=1;
            a+=b;
            writeint(a);
        }
    }
    return 0;
}

T2:魔数

Problem:

小林和亮亮是好朋友。小林有一个幸运数字 a，亮亮有一个幸运数字 b。一个数字称之为“幸运数”当且仅当它只由 a 和 b 组成。小林称一个数为“魔数”，当且仅当这个数各数位之和为“幸运数”，且这个数字本身也是“幸运数”。

举个例子：小林的幸运数字为 2，亮亮的幸运数字为 6，那么 23 不是“幸运数”，而 26、222 是“幸运数”。进一步，222 是“魔数”（因为 2+2+2=6），而 26不是“魔数”（因为 2+6=8）。

亮亮想要知道，有多少个 n 位的“魔数”（一个 n 位数不包含前导 0），由于这个数字会很大，所以亮亮只关心这个数模 1000000007（10^9+7，是一个质数）的结果。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define modd 1000000007
using namespace std;
long long q_pow(long long x,long long v){
    long long ans=1;
    while(v){
        if(v&1){
            ans*=x;
            ans%=modd;
        }
        x*=x;
        x%=modd;
        v>>=1;
    } 
    return ans;
}
long long fac[1000010],inv[1000010];
int a,b,n;
void init(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=1000000;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%modd;
    }
    inv[1000000]=q_pow(fac[1000000],modd-2);
    for(int i=999999;i>=0;i--){
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%modd;
    }
}
bool is(long long x){
    while(x){
        int now=x%10;
        if(now!=a&&now!=b) return 0;
        x/=10;
    }
    return 1;
}
int main(){
    init();
    long long ans=0;
    cin>>a>>b>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        long long now=a*i+b*(n-i);
        if(is(now)){
            ans+=(fac[n]*inv[i])%modd*inv[n-i]%modd;
            ans%=modd;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

T3:军训站队

Problem:

小林和亮亮刚入高中，首先就迎来了军训。这一天，他们班的同学正在教官的指导下进行队列练习。

班上总共有 n 位同学，他们站成一排，然而，本该站成一条直线的他们却排成了“一字长蛇阵”。用数学的语言来描述，如果把训练场看成一个平面直角坐标系，第 i 名同学所在位置的横坐标是 i，而所有同学的纵坐标本该是 0（或者任意一个相等的常量），这样就排成了一条直线。当然，由于同学们排的歪歪扭扭，所以第 i 位同学的横坐标依然是 i，而纵坐标却成了Yi （为了简化问题，我们假设所有的坐标都是整数）。

对此，教官当然十分生气，因此他决定下命令调整队伍，使得所有人能够站成一条直线（也即让所有的Yi 相同）。教官的命令总共有三种：

1、除了某一个同学外，其余所有同学向前走一步（向前走一步可理解为Yi 的值加 1，下同）；

2、除了某一个同学外，其余所有同学向前走两步；

3、除了某一个同学外，其余所有同学向前走五步。

教官希望他能以最少的命令次数使得所有同学站成一条直线，但是他不会算，于是就让亮亮帮他来计算。亮亮虽然聪明，可是由于班上同学人数众多，他一下子也解决不了这个问题，只能来寻求会编程的你的帮助，你能告诉亮亮答案吗？

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100001],b[100001];
long long ans=0,ss;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=n;i>=1;i--) a[i]-=a[1];
    memcpy(b,a,sizeof(b));
    for(int j=0;j<5;j++){
        ans=0;
        memcpy(a,b,sizeof(b));
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=j;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(a[i]>=5) ans+=(long long)a[i]/5,a[i]%=5;
            if(a[i]>=2) ans+=(long long)a[i]/2,a[i]%=2;
            if(a[i]>0) ans+=(long long)a[i],a[i]=0;
        }
        if(j==0) ss=ans; 
        else ss=min(ss,ans);
    }
    printf("%lld\n",ss);
    return 0;
}