Trick 记录：「极短 mex 区间」

Trick 记录：「极短 $\mathrm{mex}$ 区间」

我觉得这个很有意思，所以决定记一下。

就是，做完找紫色数据结构做一下，然后翻到了 P10169。

给定序列 $\{a_n\}$ 和 $k$，求有多少子区间 $[l,r]$ 满足 $\mathrm{mex}\{a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r\}+min\{a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r\}+k\ge max\{a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r\}$。

$\mathrm{mex}$ 定义为集合内没有出现过的最小的非负整数。

想了 0.67h 没想出来，推出了一些关键性质，但是还是不会单 $\log$ 维护，遂看题解。

然后知道了一个很强大的性质：

• 定义「极短 $\mathrm{mex}$ 区间」为满足如下性质的区间：设 $[l,r]$ 的区间 $\mathrm{mex}=c$，$[l,r]$ 为「极短 $\mathrm{mex}$ 区间」当且仅当不存在区间 $[l^{\prime },r^{\prime }]\subset [l,r]$ 满足 $[l^{\prime },r^{\prime }]$ 的区间 $\mathrm{mex}=c$。
• 则对任意数列「极短 $\mathrm{mex}$ 区间」的数量是 $O(n)$ 级别的，具体地，有个上界 $2n$。

考虑证明。设 $[l,r]$ 是个极短区间。显然 $a_l\ne a_r$。不妨设 $a_l>a_r$。那么 $a_r$ 和 $a_l$ 的加入先后影响了这段区间的 $\mathrm{mex}$。把这两次操作撤销就能得到区间 $[l+1,r]$ 的 $\mathrm{mex}=a_l$ 并且 $[l+1,r-1]$ 的 $\mathrm{mex}=a_r$。而对于一个固定的 $l+1$，此时 $a_l$ 已经固定。因为固定左端点时右端点向右移动区间 $\mathrm{mex}$ 单调不降，所以对于每个 $l$ 最多只有一个 $r$ 满足条件。$a_r>a_l$ 时同理。因此证明了极短区间的数量上界是 $2n$。

考虑找出所有的极短区间。

前置知识：主席树求区间 $\mathrm{mex}$。

但是我复习的时候肯定会重新看所以一句话描述一下：每个点维护当前权值最后出现的位置然后树上二分即可。

假设我们找到了 $\mathrm{mex}=c$ 的极短区间，考虑推出 $\mathrm{mex}=c+1$ 的极短区间。

有个显然的结论是 $\mathrm{mex}=x$ 的区间一定是由一个 $\mathrm{mex}=y(y<x)$ 的区间加上 $y$ 到 $x$ 之间的数得到的。

维护一个 vector 作为极短区间候选。那么求出一个 $c$ - 极短区间后，就从它的左端点和右端点分别向前和向后找到第一个 $c+1$，然后把这两段区间的 $\mathrm{mex}$ 扔到对应的 vector 里作为候选即可。当我们枚举完了 $1$ 到 $c$ 的所有数，所有可能成为候选的区间一定都在 $c+1$ 的候选 vector 里了。对这个 vector 求极短区间即可。

因为极短区间的数量是 $O(n)$ 级别的，而每个区间只会提供 $O(1)$ 个新的候选区间。所以任意时刻 vector 里的区间和的数量也是 $O(n)$ 级别的。有个上界 $4n$ 只是我不会证。

这样我们就在 $O(n\log n)$ 的时间复杂度内得到了所有的极短区间。

再定义「极长 $\mathrm{mex}$ 区间」，它表示的是所有满足不存在包含当前区间的与当前区间 $\mathrm{mex}$ 相等的区间的区间。 有了极短区间后极长区间也很好求，将所有极短区间向左右找到第一个改变 $\mathrm{mex}$ 的位置，就能得到极长区间。极长区间的数量级自然也是 $O(n)$ 的。

考虑求出极短极长区间得到了什么。实际上，设 $[l,r]$ 是极短区间，$[L,R]$ 是对应的极长区间，则本质上得到的是 $O(n)$ 个形如「若 $l^{\prime }\in [L,l],r^{\prime }\in [r,R]$，则 $\mathrm{mex}(l^{\prime },r^{\prime })=c$ 」这样的条件。把它扔到坐标系中，纵轴表示 $l$ 横轴表示 $r$，则我们将上三角那一片区域分成了 $O(n)$ 个不交的矩形，每个区间的 $\mathrm{mex}$ 就是它所在矩形的权值。这就能帮助我们做出很多题了。

P9970 [THUPC 2024 初赛] 套娃

我们定义一个集合的 $\mathrm{mex}$ 是最小的不在 $S$ 中的非负整数。

给定一个序列 $a_1,\dots ,a_n$，对于每个 $1\le k\le n$，我们按照如下方式定义 $b_k$：

• 对于 $a$ 的所有长为 $k$ 的子区间，求出这个子区间构成的数集的 $\mathrm{mex}$。
• 对于求出的所有 $\mathrm{mex}$，求出这个数集自己的 $\mathrm{mex}$，记为 $b_k$。

请你求出序列 $b$。

曾经和 SError_ 大蛇和 大眼仔Happy 大神打过的一场，但是当时没人去细想这个题。

根据上面的结论其实是很好做的。考虑每个长度对应的可重集。对于对应的 $c$ - 极短极长区间 $[l,r],[L,R]$，它会给 $[r-l+1,R-L+1]$ 这段可重集中都提供一个 $c$。做差分并用 vector 记录每个集合开始的增删情况。

用 set 动态地维护当前未出现在集合中的数即可。由于可能会出现重复，因此可以选择用 multiset 或者开桶记录出现次数。

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P10169 [DTCPC 2024] mex,min,max

给定序列 $\{a_n\}$ 和 $k$，求有多少子区间 $[l,r]$ 满足 $\mathrm{mex}\{a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r\}+min\{a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r\}+k\ge max\{a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r\}$。

$\mathrm{mex}$ 定义为集合内没有出现过的最小的非负整数。

这场好像我也打过，只是我还是没有去开这道题所以没印象了。

注意到 $\mathrm{mex}$ 和 $min$ 必有一个为 $0$，考虑容斥。

设 $A$ 表示满足 $\mathrm{mex}+k\ge max$ 的区间个数，$B$ 表示满足 $min+k\ge max$ 的区间个数，$C$ 表示 $0+k\ge max$ 的区间个数，有最终答案为 $A+B-C$。$B$ 和 $C$ 是好求的。

考虑怎么求 $A$。仍然是考虑一组对应的 $c$ - 极短极长区间 $[l,r],[L,R]$，那么此时 $\mathrm{mex}$ 是固定的，则问题变成求有多少个区间满足 $l^{\prime }\in [L,l],r^{\prime }\in [r,R],max\le c+k$。$max$ 是可重可并的，所以实际上我们只用在 $[L,l]$ 中找到最小的 $cl$ 满足 $max\text{of }[cl,r]\le c+k$，然后在 $[r,R]$ 中找到 $max\text{of }[l,cr]\le c+k$ 的最大 $cr$。二分即可。这时对于所有 $l^{\prime }\in [cl,l],r^{\prime }\in [r,cr]$ 的区间都满足条件。

这样的做法可以保证答案不漏，但无法保证不重。

发现每次形如钦定一个矩形合法，因此对所有矩形扫描线求面积并即可。

码量还是挺大的，但是很好调，至少我一写完代码就直接过样例了，改了下 RE 和 MLE 就过了（

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