Codeforces Round 941 (Div. 1) VP记录

Codeforces Round 941 (Div. 1) VP 记录

我了个掉分场啊。没场切 C 导致看起来会 - 50。

A

排序后差分。它毕竟还是个公平组合游戏，所以如果 Alice 在一次操作中能够控制能把后手扔给自己还是对面就赢了。

然后我们发现如果一个差分值 $x\ge 2$ 就是必胜的吧。先手可以自己取完也可以剩一个给后手，输出当前先手即可。

然后如果当前是 $0$，先后手不变，如果是 $1$，先后手交换。如果结束了都没有一个 $x>2$，那么判下是谁最后面临着不能动的局面就行。

B

不会构造题，写了一小时二十分钟自信掉分。

把 $[1,n]-\{k\}$ 分成 $[1,k),(k,n]$。

先考虑怎么能做到能且仅能表示 $[1,k)$ 的所有数。

考虑如果用一堆 $2$ 的幂能够做到表示 $[1,2^x)$ 的所有数。

那么我们找到一个最大的 $x$ 满足 $k-1\ge 2^x-1$，并把 $2^0,2^1,\dots ,2^{x-1}$ 扔进答案里就能表示 $[1,2^x)$。

再扔个 $(k-1)-(2^x-1)$ 进去就能恰好表示 $[1,k)$ 了。

然后我们把 $x$ 后面的 $2$ 进制幂也都扔回去就能得到大部分数了。

最后考虑填空，考虑哪些位置是没有的。因为我们损失了 $2^x$，但是 $2k\ge 2^x$。

所以扔个 $k+1$ 进答案表示 $[1,k)\cup (k,2k]$ 的数，然后就能用当前数得到一个 $2^x$，对后面没什么影响。

但是还有最后类个空要填。此时我们无法解决 $(x>k)+k$ 这样的数，因为我们在这一个 $2^x$ 段中没有 $k$。然后其实直接扔个 $2^x+k$ 就是对的，手玩一下，它与其他的数能够拼成所有数了。

C

考场上想 B 想不到然后在 C 随便写了发马拉车发现过不了就重新回去想 B 浪费了 20min，而实际上如果这 20min 认真利用起来我是真可以切掉这题的。

注意到 $1$ 和 $0$ 都是可以缩的，折成像 Z 字形的东西。

然后其实，如果 $a_i=a_{i-1}$ 就以 $i-0.5$ 为折痕折一下就行，这一定是合法的且最优的，证明合法性很简单，最优性看着就很对是吧。

D

不会构造题。

考虑如果没有吃掉一个数怎么构造。

有两种构造方法：

Method 1:

考虑每个出现次数为奇数的数。它们代表的区间一定跨过回文中心，并且本身也对称。也就是区间 $[i,n-i+1]$。

那把每一个出现次数为奇数的数从小到大排个序，显然这些区间长度越长其和越大，简单的做个差分就能还原序列了。

Method 2:

考虑区间 $[1,n]$ 最大值和次大值，要求最大值和次大值不同。

那么最大值一定是 $[1,n]$，次大值一定是 $[1,n-1]$，减一下就能得到 $a_n$ 也就是 $a_1$。

然后删掉 $[1,n]$ 找第三大值得到 $[1,n-2]$ 后做差就行了……吗？

注意到 $[2,n-1]$ 区间长度和 $[1,n-2]$ 相等，有可能 $[2,n-1]$ 的值大于 $[1,n-2]$，所以还得删掉 $[2,n-1]$ 这一区间。然后就能用同样的方法得到 $a_{n-1}$ 即 $a_2$。

形式化的，每次求出 $a_i$ 后，把以 $i+1$ 为左端点的和以 $n-i$ 为右端点的区间都删了然后求当前最大值和次大值，差分下去就能还原序列。

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考虑对于删除一个而言，这两种方法是否适用。

Method 2 只要最大值存在就能用，而 Method 1 只有删除最大值才能适用，两种方法互补。

讨论最大值出现了 $1$ 次还是 $2$ 次。$1$ 次说明最大值还在，用 Method 2，否则用 Method 1 即可。

E

不会构造题。

但是我觉得这题代码比 D 题好写。

题解 CF1965E【Connected Cubes】 - 洛谷专栏 (luogu.com.cn) 尺子姐的题解讲的非常清楚，我觉得我讲一遍也就只是复述一遍题解而已，而且我懒得放图。

F

不会 Hall 定理是否应该爬？