Codeforces Round 969 (Div. 1) 记录

Codeforces Round 969 (Div. 1) 记录

场切了 ABC，2:23 过的 C pretest，DEF 都没开到（

A

简单博弈题。$\mathtt{\text{Clist *}}1743$。

对于除了首尾以外的 $0/1$ 连续段，都会提供恰好一个 $01$ 和恰好一个 $10$。

如果开头是 $1$ 则不会提供 $01$ ，结尾是 $1$ 则不会提供 $10$，这两个又可以抵消掉，$0$ 同理。

因此得到，一个叶子会提供 $1$ 的得分，当且仅当这个叶子的权值和根的权值不同。

那可以做简单分讨。设叶子节点上的问号数量是 $x$，非叶子上的问号数量是 $y$。

如果根节点上不是问号，那么 Alice 能得到的答案增量是 $\lfloor (x+1)/2\rfloor$。

如果跟节点上的值是问号，当叶子节点上的 $1$ 的个数和 $0$ 的个数不相等时，Alice 可以先手令根节点的权值是叶子节点上 $1$ 的数量和 $0$ 的数量较少的那个数，并获得 $\lfloor x/2\rfloor$ 的增量。

否则，谁拿到根谁吃亏，可以通过判断 $y$ 的奇偶性简单判断 Alice 取 $\lfloor (x+1)/2\rfloor$ 还是 $\lfloor x/2\rfloor$。

B

$\mathtt{\text{Clist *}}2033$。

答案单调下降，因此考虑离线后时光倒流计算增量。

首先考虑在什么情况下取到一条路径上的最大答案。

时光倒流后，相当于一开始给定一棵树，我们称每次操作是选定一条边制约解除。

那么设当前所有被制约解除的边的边权和为 $v$，那么对于一条路径经过的边，有一部分被制约解除了，一部分没有，设没有被制约解除的边的边权和为 $u$。假设这条路径上存在一条边被制约解除，那么这条路径的边权就是 $u+v$，否则权值为 $u$。

考虑题目中路径的性质。树是按 dfs 序编号的，那么每条边会被两条 $i\to (imodn+1)$ 的路径经过。对于点 $i$，设 $i$ 的子树内的编号范围为 $[i,r_i]$，那么每次解除 $i$ 到 $i$ 父亲的这条边，影响到的只有 $(i-1)\to i$ 的路径和 $r_i\to (r_{i}modn+1)$ 的路径。

那么问题就变得很简单了。首先算出所有边权都确定时的答案，并记一个 $cnt$ 描述当前存在被制约解除的边的路径的条数和一个 bool 数组描述每一条路径中是否存在被制约解除的边。

对于每次操作，设当前的边的权值为 $val$。首先当前的边先消除影响，将答案减去 $2val$，然后把 $val$ 加到 $v$ 中。

因为每次只会修改两条路径，所以可以直接修改 bool 数组并维护 $cnt$，然后再让答案增加 $cnt\cdot v$ 即可。

C

$\mathtt{\text{Clist *}}2307$。

喜欢我猜结论题吗？

首先每次拿到一个数组，显然将它一直操作直至无法操作为止后如果连续就不合法。

考虑无法操作的集合是什么样子的。假设集合内有两个数的差为偶数那么一定操作。而无法操作即无论选择哪两个数操作，其能产生出的数都已经在集合中了。

然后手玩下发现，不能操作当且仅当这段数组从小到大排序后，差分数组的 $gcd$ 不是 $2$ 的整数次幂或 $0$。

胡个证明。首先如果排序后两个相邻数作差后是偶数，那么显然将它一直操作下去。最后可以得到一个任意相邻数的差都为奇数的数组。

那么假设场上出现的间隔的种类数超过 $1$ 种，那么一定有一组 $(i,i+1,i+2)$ 满足 $(a_{i+1}-a_i)\ne (a_{i+2}-a_{i+1})$。此时 $(i,i+2)$ 必然可操作，并且操作后出现的数一定没有出现过。那么一直执行上述操作，最后就能得到一个所有数相等的数组，并且这个相等的值显然是所有差分的 $gcd$ 不断除以 $2$ 的结果。而如果最后所有差都是 $1$ 那就达到目的了，推回去就是 $gcd$ 是 $2$ 的整数次幂就是合法的。

问题变成了，问有多少个子段排序后的差分的 $gcd$ 是 $0$ 或 $2$ 的整数次幂。

然后胡个结论，排序后的差分的 $gcd$ 等于不排序时差分的绝对值的 $gcd$。

证明它。根据 $gcd$ 的性质有 $gcd(a,b)=gcd(a+b,b)$，所以我们可以把差分给前缀和回去 $gcd$ 不变，然后发现前缀和后的数组时原数组每个数都减去最小值的结果。然后我们任意调换原数组的顺序后，原数组每个数都减去最小值的 $gcd$ 是不变的。而排序后的 $gcd$ 恒为正，所以很自然的每个数差分后取绝对值的 $gcd$ 是不变的。

那就直接把差分处理出来得到一个长度为 $n-1$ 的数组，问题变成了有多少个子段的 $gcd$ 为 $0$ 或 $2$ 的整数次幂。问题变成了 ARC023D] GCD区間，简单 st 表后二分并开 map 存起来即可，当然这题因为询问数量极小肯定有更快的做法（sol：st 表后双指针或直接不带删双指针）。但是赛时一看转化成这题就懒得继续思考了。

D

赛后补题，启动！

$\mathtt{\text{Clist *}}2673$。

大家好啊今天给大家带来点根分。

考虑最优顺序。显然先放 $a_n$，然后放 $a_1$， 然后放 $a_{n-1}$ 这样，大值小值交替着放。

证明考虑各种邻项交换证最优性。

考虑当前数组合法的条件。设当前数组中满足值在 $[i,j]$ 的数字的个数为 $cnt(i,j)$。

考虑合法条件。对于 $\le i$ 的数，它需要应付所有大于 $\lfloor \frac{k}{i+1}\rfloor$ 的数吧，因为 $i+1$ 没法应付这种数，所以至少 $\le i$ 的数应该足够。

然后还有种情况。如果长度为奇数，那么中间那一项是不用考虑的。

那么合法需要满足的就是 $\mathrm{\forall }i\in [1,\sqrt{k}],min(cnt(1,i),\lfloor \frac{n}{2}\rfloor )\ge min(cnt(\lfloor \frac{k}{i+1}\rfloor +1,k),\lfloor \frac{n}{2}\rfloor )$。

而考虑下修改是什么。显然最大值改成 $1$。那么会使得 $i\le \sqrt{k}$ 的 $cnt(1,i)$ 的值均加上 $1$ 并让 $i>\sqrt{k}$ 的 $cnt(i,k)$ 减小 $1$ 吧。

那找一下差多少就行了吧。

然后出题人很良心的卡了二维前缀和的空间，考虑卡空间。

操作离线下来，每次对于每个 $i$ 求出该求的数据就行了吧。

实现上，枚举 $i\le \sqrt{k}$，然后把 $i$ 和 $\lfloor \frac{k}{i+1}\rfloor$ 对所有询问的贡献搞出来就行了。