P10217 [省选联考 2024] 季风 题解

[省选联考 2024] 季风

Description

给定 $n,k,x,y$ 和 $2n$ 个整数 $x_0,y_0,x_1,y_1,\dots ,x_{n-1},y_{n-1}$。

找到最小的非负整数 $m$，使得存在 $2m$ 个实数 $x_0^{\prime },y_0^{\prime },x_1^{\prime },y_1^{\prime },\dots ,x_{m-1}^{\prime },y_{m-1}^{\prime }$ 满足以下条件，或报告不存在这样的 $m$：

• $\sum _{i=0}^{m-1}(x_i^{\prime }+x_{imodn})=x$；
• $\sum _{i=0}^{m-1}(y_i^{\prime }+y_{imodn})=y$；
• $\mathrm{\forall }0\le i\le m-1,|x_i^{\prime }|+|y_i^{\prime }|\le k$。

特别地，$m=0$ 时，认为 $\sum _{i=0}^{m-1}(x_i^{\prime }+x_{imodn})$ 和 $\sum _{i=0}^{m-1}(y_i^{\prime }+y_{imodn})$ 均为 $0$。

Solution

我很唐，写了三个多小时。

在坐标系中看问题。注意到如果把 $(x_i^{\prime },y_i^{\prime })$ 看成点，那么所有点都满足条件 $|x_i^{\prime }|+|y_i^{\prime }|\le k$，等价于所有点都在一个以坐标系原点为中心的，对角线长 $2k$ 的 ${45}^{\circ }$ 倾斜的正方形中。

假设我们现在枚举了一个 $m$，并且算出了 $\sum _{i=0}^{m-1}{x}_{imodn}$ 和 $\sum _{i=0}^{m-1}{y}_{imodn}$，分别设为 $tx$ 和 $ty$。

那么平均下来每个 $x_i^{\prime }$ 和 $y_i^{\prime }$ 应该分别要达到 $\frac{x-tx}{m},\frac{y-ty}{m}$。

那么有结论，如果 $m$ 满足题目条件，那么一定有 $\left|\frac{x-tx}{m}\right|+\left|\frac{y-ty}{m}\right|\le k$。因为我们希望让平均坐标为 $(\frac{x-tx}{m},\frac{y-ty}{m})$ 的若干个点都在一个封闭图形中，那么最优方案一定是将这些点都集中在平均坐标上，这样它们占的面积最小。而如果连这种最优方案都不满足，那么一定没有方案满足题目的条件的。

将 $m$ 拆分成 $xn+b(x,b\in N,b\in [0,n))$ 的形式。为了简便，下面设 $a=n$。枚举 $b$。分别设 $s{x}_i,s{y}_i$ 为 $x$ 和 $y$ 数组的前缀和。

那么 $tx=a\cdot s{x}_n+s{x}_b,ty=a\cdot s{y}_n+s{y}_b$。

设 $p=-s{x}_n,q=-s{y}_n,c=x-s{x}_b,d=y-s{y}_b$，那么对于每个 $b$，题目就转换为了求下面的不等式的解集。

$$\left|\frac{px+c}{ax+b}\right|+\left|\frac{qx+d}{ax+b}\right|\le k$$

$ax+b$ 恒大于 $0$，所以可以分类讨论 $px+c$ 和 $qx+d$ 的符号，分四类讨论，把绝对值拆开。

下面以 $px+c\ge 0,qx+d\ge 0$ 为例。继续推下去。

$$\begin{array}{r}\left|\frac{px+c}{ax+b}\right|+\left|\frac{qx+d}{ax+b}\right|\le k\\ \frac{(p+q)x+(c+d)}{ax+b}\le k\\ (p+q)x+(c+d)\le akx+bk\\ (p+q-ak)x+(c+d-bk)\le 0\end{array}$$

设 $r$ 为 $p+q-ak$，$s$ 为 $c+d-bk$，那么又转化成了不等式 $rx+s\le 0$ 的形式。这个不等式方程是很好解的。最后求出解集和 $(0,+\mathrm{\infty })$ 的交集，取解集中最小的数就可以求出这种情况下最小的 $x$，进而得到 $m=ax+b$。

另外三类情况同理。分类讨论完取四类情况的最小值就是对于当前 $b$ 的最小 $m$ 值。

对于所有的 $b$ 算一遍，这题就做完了。时间复杂度 $O(n)$。

代码实现方面，实现一个求 $ax+b\ge 0$ 的函数，就非常好写了。