总结分享 | 动态规划经典例题总结一

不同路径Ⅰ

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解题思路

一、定义数组元素的含义

由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，一共有 dp[i] [j] 种路径。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要找的答案。

二、找出关系数组元素间的关系式

想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达

因为是计算所有可能的步骤，所以是把所有可能走的路径都加起来，所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。

三、找出初始值

显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：

dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走

dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走

代码（java）

class Solution {
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(method(3, 7));
    }
    
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0]=1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i]=1;
        }
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dp[i].length; j++) {
                dp[i][j]= dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

不同路径 Ⅱ

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

解题思路

一、定义数组元素的含义

由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，一共有 dp[i] [j] 种路径。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要找的答案。

二、找出关系数组元素间的关系式

该题和不同路径 Ⅰ的关系相似。

由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达

因为是计算所有可能的步骤，所以是把所有可能走的路径都加起来，考虑网格中有障碍物，机器人无法通过障碍物，所以障碍物所在位置没有路径值。

所以关系式是 ：

if (obstacleGrid[i][j] != 1){
    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}

三、找出初始值

显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0时使用该关系式就不合适了，因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1，就变成负数了，数组就会出问题了；所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。

而且还要考虑到障碍物会出现在dp[0] [0….n-1] 和dp[0….m-1] [0]之中，我们可以加一个判断语句进行赋值，或者在初始化过程中遇到障碍物后，直接结束初始化（因为只要碰到障碍物，后面的路径机器人都无法到达）。

代码

class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] obstacleGrid=new int[][]{{0,0,0},{0,1,0},{0,0,0}};

        System.out.println(uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid));
    }
    
    public static int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;

        int[][] dp = new int[m][n];
        //初始化第一列
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            if (obstacleGrid[i][0] == 1){
                break;
            }
            dp[i][0] = 1;
        }
        //初始化第一行
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (obstacleGrid[0][i] == 1){
                break;
            }
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                //跳过路障
                if (obstacleGrid[i][j] != 1){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}