BZOJ3144【HZNOI2013】切糕 <最小割>

切糕

经历千辛万苦小A得到了一块切糕，切糕的形状是长方体，小A打算拦腰将切糕切成两半分给小B。出于美观考虑，小A希望切面能尽量光滑且和谐。于是她找到你，希望你能帮她找出最好的切割方案。
出于简便考虑，我们将切糕视作一个长P，宽Q，高R的长方体点阵。我们将位于第z层中第x行，第y列上的点称为(x,y,z)，它有一个非负的不和谐值v(x,y,z)。一个合法的切面满足以下两个条件：
1.与每个纵轴有且仅有一个交点。即切面是一个函数f(x,y)，对于所有1≤x≤P，1≤y≤Q，我们需指定一个切割点f(x,y)，且 1≤f(x,y)≤R。
2.切面需要一定的光滑性要求，即相邻纵轴上的切割点不能相距太远。对于所有 1≤x,x'≤P 和 1≤y,y'≤Q，若 |x-x'|+|y-y'|=1，则 |f(x,y)-f(x',y')|≤D,其中D是给定的一个非负整数。
可能有许多切面满足上面的条件，小A希望找出总的切割点上的不和谐值最小的那个，即sigma(v(x,y,f(x,y)))最小。

Input
第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)。
100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。
Output
仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

Sample Input
2 2 2
1
6 1
6 1
2 6
2 6
Sample Output
6

Hint
最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1

标签：网络流，最小割

建模神题。
建图：
建r+1层，每层p*q的图，相邻两竖边建模如下

图片转载自Zarxdy34
这样如果割掉红边，右边割的边必须在绿边下面才能有流。所以割的边就限制在绿边上面了。因此这样一来，下界就满足了。
对于上界，右边的几个点反过来同种方式建边（图中只画了左侧的边）

附上AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define MAX_A 40
#define MAX_N 70000
#define MAX_M 300000
#define INF 2147483647
using namespace std;
int s, t, id[MAX_A+5][MAX_A+5][MAX_A+5];
int move[2][4] = {{0, 1, 0, -1}, {1, 0, -1, 0}};
struct Edge {int v, c, nxt;} E[MAX_M+5];
int pre[MAX_N+5], d[MAX_N+5], cnt, num;
queue <int> que;
void init() {cnt = num = 0; memset(pre, -1, sizeof(pre));}
void insert(int u, int v, int c) {
	E[cnt].v = v, E[cnt].c = c;
	E[cnt].nxt = pre[u], pre[u] = cnt++;
	E[cnt].v = u, E[cnt].c = 0;
	E[cnt].nxt = pre[v], pre[v] = cnt++;
}
bool BFS() {
	memset(d, -1, sizeof(d));
	while (!que.empty())	que.pop();
	d[s] = 0, que.push(s);
	while (!que.empty()) {
		int u = que.front();
		for (int i = pre[u]; i != -1; i = E[i].nxt)
			if (E[i].c && d[E[i].v] == -1)
				d[E[i].v] = d[u]+1, que.push(E[i].v);
		que.pop();
	}
	return d[t] != -1;
}
int DFS(int u, int flow) {
	if (u == t)	return flow;
	int ret = 0;
	for (int i = pre[u]; i != -1; i = E[i].nxt) {
		int v = E[i].v;
		if (E[i].c && d[u]+1 == d[v]) {
			int tmp = DFS(v, min(flow, E[i].c));
			E[i].c -= tmp, E[i^1].c += tmp;
			flow -= tmp, ret += tmp;
			if (!flow)	break;
		}
	}
	if (!ret)	d[u] = -1;
	return ret;
}
int Dinic() {
	int ret = 0;
	while (BFS())	ret += DFS(s, INF);
	return ret;
}
int main() {
	init();
	int a, b, h, d;	scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &h, &d);
	for (int i = 1; i <= h+1; i++)
		for (int j = 1; j <= a; j++)
			for (int k = 1; k <= b; k++)
				id[i][j][k] = ++num;
	s = 0, t = ++num;
	for (int j = 1; j <= a; j++)
		for (int k = 1; k <= b; k++)
			insert(s, id[1][j][k], INF), 
			insert(id[h+1][j][k], t, INF);
	for (int i = 1; i <= h; i++)
		for (int j = 1; j <= a; j++)
			for (int k = 1; k <= b; k++) {
				int c;	scanf("%d", &c);
				insert(id[i][j][k], id[i+1][j][k], c);
			}
	for (int i = d+1; i <= h+1; i++)
		for (int j = 1; j <= a; j++)
			for (int k = 1; k <= b; k++) {
				int x, y;
				for (int l = 0; l < 4; l++)
					if (id[i][x = j+move[0][l]][y = k+move[1][l]])
						insert(id[i][j][k], id[i-d][x][y], INF);
			}
	printf("%d", Dinic());
	return 0;
}