信息学奥赛一本通（提高组）

一、贪心算法

• 选择不相交区间问题：给定n个开区间，选择尽量多个区间，是得这些区间两两没有公共点。（例：活动安排）

　　按照结束时间由小到大的顺序排列，依次考虑各个活动，如果没有和已经选择的活动冲突，就选；否则就不选。

• 区间选点问题：给定n个闭区间，在数轴上选尽量少的点，是得每个区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）。（例：种树）

　　首先按照区间的结束位置从小到大排列。然后在区间中进行选择：对于当前区间，若集合中的点不能覆盖它，则将区间末尾的数加入集合。

　　贪心策略：取最后一个。

• 区间覆盖问题：给定n隔壁区间，选择尽量少的区间覆盖一条指定的线段区间。（例：喷水装置）

　　将所有区间按照左端点由小到大排序，依次处理每个区间。每次选择覆盖点s的区间中右端点坐标中最大的一个，并将s更新为该区间的右端点坐标，直到选择的区间包含t。

　　贪心策略：在某时刻的s，找出一个满足a[i]<=s的b[i]最大值即可。

• 流水作业调度问题：n作业，两机器，先a后b，求总时间最短。（例：加工生产调度）

　　直观：让a没有空闲，让b空的少

　　Johnson算法：对于a<b的集合，按s非减序排列；对于a>=b的集合，按照b非升序排列

• 带期限和罚款的单位时间任务调度：n任务，每个都能在单位时间内完成，每个都有对应的完成期限及完成不了的罚款数额，确定执行顺序使罚款最少。（例：智力大冲浪）

　　按照罚款数额由大到小排序，然后依次进行安排。安排规则为：使处理当前任务的时间在既在期限之内，又尽量靠后，如果都已经排满，则放弃处理并扔在最后.

二、二分（单调性）与三分（单峰性）

• 二分的边界问题：https://www.luogu.org/blog/tarjanfloydDP/qian-tan-er-fen-di-bian-jie-wen-ti
• 二分常见模型：二分答案（将最优化问题转为判定性问题），二分查找（求解分界点），代替三分（二分导函数求极值，定义域通常定为整数域）。
• 三分：任取两点判断好坏不断缩小区间。

三，搜索

• dfs的优化技巧：优化搜索顺序（对象），排除等效冗余，可行性剪枝（上下界剪枝），最优性剪枝，记忆化。

　　例：数的划分，生日蛋糕，小木棍，weight，Addition Chains。「一本通 1.3 练习 1」埃及分数

• 双向bfs等

四、图论

• 最小生成树：

　　　prim(堆优化)，kruskal:prim适用于疏密图，kruskal使用于稀疏图。例：北极通讯网络。

　　　　一些相关拓展：最短路径生成树（例，黑暗城堡），次小生成树，严格次小生成树

• 最小环问题：

　　　 对于无向图，考虑Floyd，枚举与k相邻的两个点求解最小值。

　　　    对于有向图，考虑dijkstra，从1到n中枚举s，s是堆中第一个取出的结点，扫描所有出边，更新完成后使d[s]为无穷大，当s第二次被取出时，d[s]即为所求。

• 最短路：

　　   Floyd：可处理无向与有向图，边权可正可负，不能有负环。可求解最小环。每对点之间。

　　　  dijkstra（堆优化）：处理非负边权。单源。代码。

　　　  Bellman-Ford：单源，可解决负边权

　　　  SPFA（队列优化的Bellman-Ford）：可判断负环，稀疏图上效率较高，稠密图易退化，输出路径可用数组记录（注意倒序输出）。代码

• 最短路计数问题：在所使用的求最短路的方法中加上计数操作即可。代码
• 差分约束:可转换为有向图的路径问题，例题详见博客，感觉差分约束还是比较容易看出来的
• 强连通分量:使用tarjan算法，用途：有向图的缩点，解决2-SAT问题
• 割点和桥
• 欧拉回路

五、字符串

• 哈希：双哈希（选取孪生质数），自然溢出；
• KMP算法：线性，单模式串匹配，代码
• 字典树（Trie）
• AC自动机：trie上的kmp，多模式串匹配
• manacher（马拉车）算法：判断回文串

六，数据结构

• 树状数组
• RMQ问题：ST算法，以及与线段树的比较
• 线段树及其拓展:zkw线段树
• 倍增求LCA：倍增三连击orzzz，处理数组时注意从前或者从后处理，基本不会单独考出来，一般在树上跑倍增qwq
• 树链剖分（再说）
• 平衡树（Treap）（再说）

七、动态规划

• 区间dp:分解合并求解，阶段特征明显，类似分治，f[i,j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+决策），k为划分点
• 树形dp：基本模型都是一棵树或者森林。仔细考虑每个节点有什么状态，这些节点的状态与父节点子节点的状态都有什么联系，也就是如何由子结点的最优值推出父结点的最优值。

　　　　　　经典问题：树的重心：以重心为根的有根树的最大子树的结点数最小。

　　　　　　　　　　　树的最长路径（最远点对)：找到距离最远的两个结点。

　　　　　　　　　　　树的中心问题：中心到树中的其他结点的最远距离最近。

　　　　　　　　　　　普通树形dp：考虑状态，取或不取。

　　　　　　一些类型：由根分成左子树和右子树两部分：考虑左子树为空，右子树为空，左右子树都非空三种情况

　　　　　　　　　　　背包类树形dp：一般以结点编号作为树形dp，“体积”作为第二维状态

　　　　　　　　　　　求树的最长链问题：对于每个结点i记录以i为根的子树到叶节点的最大距离及次大距离，不断更新，最后相加取最大值

　　　　　　　　　　　求树的最大独立集：考虑每种状态下的策略问题，从而推出转移方程

　　　　　　　　　　　普通树的dp：依旧是考虑每个节点的状态，考虑该状态下的策略

• 数位dp
• 状压dp
• 单调队列优化dp
• 斜率优化dp

八、数学基础

• 快速幂:连续分解
• 质数：算术基本定理，质数分布定理，质数判定及筛法，质因数分解
• 约数：求1~n每个数的正约数集合（Antiprime数）
• 同余问题
• 矩阵乘法
• 组合数学
• 博弈论