Border Theory 学习笔记

阅读目录

• Border Theory 学习笔记

回到顶部

Border Theory 学习笔记

$~~~~$ 膜拜 sh。

一、周期

$~~~~$ 1.定义： 若字符串 $s$ 某个前缀重复若干次（可以非整数，但次数 $\times$ 该前缀长度为整数）可得到该字符串，则该前缀的长度被称作 $s$ 的周期。

$~~~~$ 形式化地，即对于字符串 $s$ ，正整数 $p$ 满足 $s$ 可被表示为 $pre(s,p)^x$ ，则称 $p$ 为 $s$ 的周期。同时定义 $per(s)$ 为 $s$ 的最小周期。

$~~~~$ 2.弱周期定理

$~~~~~~~~$ ①.内容 ：若 $p,q$ 为 $s$ 的周期，且 $p+q \leq |s|$ ，则 $\gcd(p,q)$ 为 $s$ 的周期。

$~~~~~~~~$ ②.证明 ：若 $i\geq p$ ，由周期定义应有：$s_i=s_{i-p}$ ；

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 若 $i+q\leq |s|$ ，由周期定义应有：$s_i=s_{i+q}$；

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 综上有：$s_{i-p}=s_{i+q} \Rightarrow$ $q-p$ 也是一个周期。

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 注意到这就可以用更相减损来迭代下去，进而得到 $\gcd$ 。

二、Border

$~~~~$ 1.定义 ：若字符串 $s$ 其长为 $p$ 的前缀与长为 $q$ 的后缀相同，则 $p$ 为 $s$ 的一个border.

$~~~~$ 形式化地，若对于字符串 $s$，有正整数 $p$ 满足 $pre(s,p)=suf(s,p)$ ，则 $p$ 为 $s$ 的一个border。

$~~~~$ 2.求法——KMP： 定义 $nxt_i$ 表示字符串 $s$ 的长为 $i$ 的前缀的 border，注意到这其实类似于串与自己作匹配，所以我们暴力匹配，当匹配不上时利用已求得的 $nxt$ 减少需要重新匹配的即可。

三、失配树

$~~~~$ 我也不太知道这东西有什么其他用处。

$~~~~$ 1.例题： 给定一个字符串，$q$ 组询问，每次询问该字符串长为 $x$ 的前缀和长为 $y$ 的前缀的最长公共border.

$~~~~$ 注意到某个前缀的 border 的 border 还是这个前缀的 border ，那么我们就可以不停地跳 border，并且注意到这个过程类似于跳树上LCA，所以直接倍增处理即可。

四、Border Theory

$~~~~$ 1. Lemma： 字符串 $s$ 的所有不小于 $\frac{|s|}{2}$ 的 border 构成等差数列。

$~~~~$ 证明： 记：$s$ 最大的 border 为 $n-p$ ，另有一个 border 为 $n-q$ ，（$p,q\leq \frac{|s|}{2}$），则 $p,q$ 为 $s$ 的两个周期，由弱周期定理可知：$\gcd(p,q)$ 也是周期，故 $n-\gcd(p,q)$ 也是 border 。又因为 $\gcd(p,q)\leq p$ ，且 $n-p$ 为最大的 border，即 $p$ 为最小的周期，故 $\gcd(p,q)=p$ ，故 $p|q$ 。故字符串 $s$ 所有不小于 $\frac{|s|}{2}$ 的构成等差数列，且公差为 $p$ 。

$~~~~$ 2. 推论： 字符串 $s$ 的所有 border 按长度排序后可被划为 $\log |s|$ 段等差数列。

$~~~~$ 证明： 暂且利用上面的引理，每次减去一半感性证明，具体待填坑。