「CEOI2020」春季大扫除 题解

题意

\(~~~~\) 给出若干次询问，每次询问将对若干个点增加叶子结点（同一个点可能加多次），定义一组叶子结点匹配的权值为这两点间路径经过的边数，求使得匹配权值最小且每条边都至少贡献过一次的权值。
\(~~~~\) \(1\leq n\leq 10^5,1\leq \sum D_i \leq 10^5\)

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题解

\(~~~~\) 首先，叶子结点必须是偶数时才有解，因为奇数时至少会存在一个叶子其到父亲的边不能被清扫。

\(~~~~\) 接下来考虑一棵子树：

• 当子树内叶子结点为奇数时，该子树根节点到父亲的边会被清扫一次；
• 当子树内叶子结点为偶数时，该子树根节点到父亲的边会被清扫两次；

\(~~~~\) 所以题解几乎写题意里了属于是

\(~~~~\) 考虑证明这个结论的正确性：每个点（除去钦定的根节点）到父亲的边都应该被清扫至少一次。当子树内只剩一个叶子结点未匹配时，外界也会有奇数个叶子结点供该点匹配，偶数同理。当每个点（除去钦定的根节点）到父亲的边都被清扫，我们就可以认为整棵树被清扫了。

\(~~~~\) 以上是一个 \(\mathcal{o(nq)}\) 的做法，考虑我们需要的信息只有每个点子树内的叶子结点数量 \(\bmod 2\)，故我们用树剖维护，对于某个点若其为叶子结点则不管，否则将该点到根节点的路径上所有点的点权 \(\oplus 1\) ，最后统计除了 \(1\) 之外所有点的点权和。由于 \(1\) 的点权必定为 \(0\)，所以统计整棵树的点权和即可。

代码

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#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,q,m;
int siz[100005],dfn[100005],top[100005],sizLeaf[100005];
int dep[100005],fa[100005],To[100005],Times,son[100005],deg[100005];
bool IsLeaf[100005];
vector <int> G[100005];
void dfs1(int u,int Fa)
{
	sizLeaf[u]=IsLeaf[u];fa[u]=Fa;
	siz[u]=1;dep[u]=dep[Fa]+1;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)
	{
		int v=G[u][i];
		if(v==Fa) continue;
		dfs1(v,u);
		siz[u]+=siz[v];sizLeaf[u]=(sizLeaf[u]+sizLeaf[v])%2;
		if(siz[v]>siz[son[u]]) son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int T)
{
	top[u]=T;dfn[u]=++Times;To[Times]=u;
	if(!son[u]) return; dfs2(son[u],T);
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)
	{
		int v=G[u][i];
		if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;
		dfs2(v,v);
	}
}
struct SegmentTree{
	#define ls p<<1
	#define rs p<<1|1
	#define lson p<<1,l,mid
	#define rson p<<1|1,mid+1,r
	int tr[400005],tag[400005];
	void pushUp(int p){tr[p]=tr[ls]+tr[rs];}
	void pushDown(int p,int l,int r)
	{
		if(tag[p])
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			tr[ls]=(mid-l+1)-tr[ls];
			tr[rs]=(r-mid)-tr[rs];
			tag[ls]^=1; tag[rs]^=1;
			tag[p]^=1;
		}
	}
	void Build(int p,int l,int r)
	{
		if(l==r)
		{
			tr[p]=sizLeaf[To[l]];
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		Build(lson); Build(rson);
		pushUp(p);
	}
	void Modify(int p,int l,int r,int lx,int rx)
	{
		if(lx<=l&&r<=rx)
		{
			tr[p]=(r-l+1)-tr[p];
			tag[p]^=1;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;pushDown(p,l,r);
		if(lx<=mid) Modify(lson,lx,rx);
		if(mid<rx)  Modify(rson,lx,rx);
		pushUp(p);
	}
	int Query(int p,int l,int r,int lx,int rx)
	{
		if(lx<=l&&r<=rx) return tr[p];
		int mid=(l+r)>>1,ret=0;pushDown(p,l,r);
		if(lx<=mid) ret+=Query(lson,lx,rx);
		if(mid<rx)  ret+=Query(rson,lx,rx);
		return ret;
	}
}Seg;
void ModifyPath(int x,int y)
{
//	printf("%d %d:",x,y);
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
		Seg.Modify(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	Seg.Modify(1,1,n,dfn[x],dfn[y]);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",Seg.Query(1,1,n,dfn[i],dfn[i]));puts("");
}
vector <int> Changed,V;
int main() {
//	freopen("1.in","r",stdin);
//	freopen("1.out","w",stdout);
	scanf("%d %d",&n,&q);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d %d",&x,&y);
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x);
		deg[x]++;deg[y]++;
	}
	int Sum=0,Tmp;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(deg[i]==1) IsLeaf[i]=true,Sum++; 
	dfs1(1,0);dfs2(1,1);
	Seg.Build(1,1,n);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",Seg.Query(1,1,n,dfn[i],dfn[i]));puts("");
	Tmp=Sum;
	while(q--)
	{
		Sum=Tmp;
		scanf("%d",&m);
		for(int i=1,x;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d",&x);
			if(IsLeaf[x])
			{
				Changed.push_back(x);
				IsLeaf[x]=false;
				continue;
			}
			V.push_back(x);Sum++;
			ModifyPath(x,1);
		}
		if(Sum&1) puts("-1");
		else printf("%d\n",((n+m)<<1)-2-(Seg.tr[1])-m);
		for(int i=0;i<V.size();i++) ModifyPath(V[i],1);
		for(int i=0;i<Changed.size();i++) IsLeaf[Changed[i]]=true;
		V.clear();Changed.clear();
	}
	return 0;
}