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CF438E The Child and Binary Tree 题解

CF438E The Child and Binary Tree

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Azazel/p/15182481.html

题意

     给出 n 个权值 ci,求有多少棵二叉树,其所有的点权均在这些权值之中且点权和为 S[1,m]。答案对 998244353 取模。

     1n,m,ci105

题解

     首先考虑 DP,设 fi 表示权值和为 i 且满足要求的二叉树的个数。并记 gi[0,1] 表示 i 是否是可行的点权之一。

     先有初始值 f0=1 ,则可以推出下面这个式子:

fi=ij=1giijk=0fk×fikj

     然后不难发现把 fg 看作多项式后就是个卷积形式:

f=g  f2+1

     由于 g 已知,我们试图通过此来推一波 f

gf2f+1=0f=1±14g2g

     由于一些我不会推原因,1+14g2g 会被舍去,所以只有 114g2g 合法。

     理论上可做了,但是我们发现 [x0]g(x)=0 ,不能求逆,所以我们进行一波分子有理化(或者叫分母无理化?):

21+14g

     然后多项式开根+求逆套上来即可卷出 f

代码

查看代码
#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll MOD=998244353;
ll To[5000005],N;
ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*a%MOD;
		b>>=1;a=a*a%MOD;
	}
	return ret;
}
const ll g=3,gi=qpow(g,MOD-2);
const ll Inv2=qpow(2,MOD-2);
inline ll Add(ll a,ll b){return ((a+b)%MOD+MOD)%MOD;}
inline ll Mul(ll a,ll b){return a*b%MOD;}
void NTT(ll *S,ll op)
{
	for(int i=0;i<N;i++) if(i<To[i]) swap(S[i],S[To[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		ll W=qpow(op==1?g:gi,(MOD-1)/(i<<1));
		for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
		{
			ll w=1;
			for(int k=0;k<i;k++,w=w*W%MOD)
			{
				ll x=S[j+k],y=Mul(S[i+j+k],w);
				S[j+k]=Add(x,y);S[i+j+k]=Add(x,-y);
			}
		}
	}
	if(op==-1)
	{
		ll Inv=qpow(N,MOD-2);
		for(int i=0;i<N;i++) S[i]=Mul(S[i],Inv);
	}
}
ll C[5000005];
void GetInv(int deg,ll *A,ll *B)
{
	if(deg==1){B[0]=qpow(A[0],MOD-2);return;}
	GetInv((deg+1)>>1,A,B);
	for(N=1;N<=(deg<<1);N<<=1);
	for(int i=0;i<N;i++) To[i]=(To[i>>1]>>1)|((i&1)*(N>>1)),C[i]=A[i];
	for(int i=deg;i<N;i++) C[i]=0;
	NTT(C,1);NTT(B,1);
	for(int i=0;i<N;i++) B[i]=Mul(Add(2ll,-Mul(C[i],B[i])),B[i]);
	NTT(B,-1);
	for(int i=deg;i<N;i++) B[i]=0;
}
ll inv[5000005],D[5000005];
void GetSqrt(int deg,ll *A,ll *B)
{
	if(deg==1){B[0]=1;return;}
	GetSqrt((deg+1)>>1,A,B);
	for(N=1;N<=(deg<<1);N<<=1);
	for(int i=0;i<N;i++) To[i]=(To[i>>1]>>1)|((i&1)*(N>>1)),D[i]=inv[i]=0;
	for(int i=0;i<deg;i++) D[i]=A[i];
	GetInv(deg,B,inv);
	NTT(inv,1);NTT(D,1);NTT(B,1);
	for(int i=0;i<N;i++) B[i]=Mul(Add(B[i],Mul(D[i],inv[i])),Inv2);
	NTT(B,-1);
	for(int i=deg;i<N;i++) B[i]=0;
}
template<typename T>void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9') {x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
template<typename T>void print(T x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
ll F[1000005],G[1000005],H[1000005];
int main() {
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		G[x]=1;
	}
	G[0]=1; for(int i=1;i<=m;i++) G[i]=(MOD-4*G[i]%MOD)%MOD;
	GetSqrt(m+1,G,F);F[0]++;
	GetInv(m+1,F,H);
	for(int i=0;i<=m;i++) H[i]=H[i]*2%MOD;
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",H[i]);
	return 0;
}
posted @   Azazеl  阅读(32)  评论(0编辑  收藏  举报
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