矩阵 题解
矩阵 题解
成功被低年级吊打
本文版权归Azazel与博客园共有，欢迎转载，但需保留此声明，并给出原文地址，谢谢合作。
原文地址：https://www.cnblogs.com/Azazel/p/15031854.html
题意
\(~~~~\) 略
题解
\(~~~~\) A001499，写完了。
\(~~~~\) 考虑转化题意，改为：令 \(f_i\) 表示对长为 \(n\) 的，初始全部为 \(0\) 的数列进行操作，每次选择两个位置 \(+1\) ，求进行 \(n\) 次操作，使得所有数都为 \(2\) 的操作方案数。
\(~~~~\) 那么我们考虑 \(\texttt{DP}\)，设 \(dp_i\) 表示填一个长为 \(n\) 的数列，使其满足条件的方案数。则有边界 \(dp_0=1,dp_2=1\) 。同时设一个辅助数组 \(f_i\) 表示一个长为 \(n\) ，其中填了两个 \(1\) 的使其满足条件的方案数。
\(~~~~\) 考虑如何推 \(dp\) 数组，假设现在在推 \(dp_i\)，此时我们需要缩小至少 \(1\) 的规模，也就是对一个格子操作两次。因此分为以下两种情况：
- 两次选择的另一个格子相同，则此后状态为 \(dp_{i-2}\)，选择另一个格子的方案数为 \(C_{i-1}^1\) ，同时该操作只需选择任意两次行操作即可，不用考虑顺序。综上该部分为 \(dp_{i-2}\times C_{i-1}^1\times C_{i}^2\)；
- 两次选择的另一个格子不相同，则此后状态为 \(f_{i-1}\)，选择另两个格子的方案数为 \(C_{i-2}^2\)，同时该操作有顺序区分。综上该部分为 \(f_{i-1}\times C_{i-1}^2\times A_{i}^2\)；
\(~~~~\) 再来考虑推 \(f\) 数组，此时必须把这两个 \(1\) 都消掉，所以分为以下三种情况：
- 在选择第一个 \(1\) 时就选到了另一个 \(1\) ，之后的状态为 \(dp_{i-2}\)，只能选择另一个格子，同时在前 \(i-1\) 次操作中选择一次进行该操作（有 \(1\) 次用来填出这两个 \(1\) ）。综上该部分为 \(dp_{i-2}\times 1\times C_{i-1}^1\)；
- 两个 \(1\) 选的另一个格子不同，之后的状态为 \(f_{i-2}\)，注意到两次行操作选择格子不同会导致行不同所以应该有 \(A_{i-2}^2\) 种选格子方式，最后还是两次操作不同故有序。综上该部分为 \(f_{i-2}\times A_{i-2}^2\times A_{i-1}^2\)；
- 两个 \(1\) 选的另一个格子相同，之后的状态为 \(dp_{i-3}\) ，仍然选择另一个格子方案数为 \(C_{i-2}^1\) ，最后安排行操作方案为 \(A_{i-1}^2\) 。综上该部分为 \(dp_{i-3}\times C_{i-2}^1\times A_{i-1}^2\) 。
\(~~~~\) 最后 \(\mathcal{O(n)}\) \(\texttt{DP}\)就行了。
代码
查看代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int MOD=998244353;
ll Fac[10000005],Inv[10000005];
ll qpow(ll a,ll b)
{
ll ret=1;
while(b)
{
if(b&1) ret=ret*a%MOD;
b>>=1;a=a*a%MOD;
}
return ret;
}
ll C(ll r,ll n){return Fac[n]*Inv[r]%MOD*Inv[n-r]%MOD;}
ll A(ll r,ll n){return Fac[n]*Inv[n-r]%MOD;}
ll dp[10000005],f[10000005];
int main() {
int n;
scanf("%d",&n);
Fac[0]=1;Inv[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) Fac[i]=Fac[i-1]*i%MOD;
Inv[n]=qpow(Fac[n],MOD-2);
for(int i=n-1;i>=1;i--) Inv[i]=Inv[i+1]*(i+1)%MOD;
dp[0]=1; dp[2]=1;
f[2]=1;
ll Ans=1;
for(int i=3;i<=n;i++)
{
// 状态 选择格子 选择操作
dp[i]=(dp[i]+dp[i-2]*C(1,i-1)%MOD*C(2,i)%MOD)%MOD;
dp[i]=(dp[i]+f[i-1] *C(2,i-1)%MOD*A(2,i)%MOD)%MOD;
f[i]=(f[i]+ dp[i-2]*1 *C(1,i-1)%MOD)%MOD;
f[i]=(f[i]+ f[i-2] *A(2,i-2)%MOD*A(2,i-1)%MOD)%MOD;
f[i]=(f[i]+ dp[i-3]*C(1,i-2)%MOD*A(2,i-1)%MOD)%MOD;
Ans=(Ans+dp[i])%MOD;
}
printf("%lld",Ans);
return 0;
}
