最长公共子序列

P1439 【模板】最长公共子序列

题目链接 P1439
LIS(Longest Increasing Subsequence)(最长递增子序列)
LCS(Longest Common Subsequence)(最长公共子序列)

简朴的DP

求LCS标准DP模板

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#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
			if(a[i]==b[j])
			{
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][n]<<endl;
	return 0;
}

离散化

题中所说每个序列是1-N的一个排列，所以可以知道，P1和P2两个序列 元素相同，排列不同 。

那么我就可以利用离散化（叫映射更合理一点？），将P1中的元素（记为a1,a2,a3……an）映射为（1，2，3，……，n）。

很明显，这是一个严格单调递增符合题条件的序列。

利用同样的映射关系，把P2序列也转化一下，将转化后的序列记为（b1,b2,b3……bn）。

因为P1严格单调递增，那么，求映射后的P1,P2的LCS，不就是求P2的LIS嘛？

栈的使用

方法链接 栈求LIS

求一个序列的LIS，也可以DP，但因为时间复杂度也是n的平方，所以我们使用二分。

利用一个单调递增的栈，不断更新栈中序列，最后留下的序列的大小就是原序列LIS的大小。但是，留下的序列不是LIS。

栈中序列虽然递增，但是每个元素在原串中对应的位置其实可能是乱的，那为什么这个栈还能用于计算最长子序列长度？

实际上这个栈不用于记录最终的最长子序列，而是以stk[i]结尾的子串长度最长为i或者说长度为i的递增子串中，末尾元素最小的是stk[i]。

理解了这个问题以后就知道为什么新进来的元素要不就在末尾增加，要不就替代第一个大于等于它元素的位置（lower_bound函数的作用）

这里的替换就蕴含了一个贪心的思想，对于同样长度的子串，我当然希望它的末端越小越好，这样以后我也有更多机会拓展

最终代码

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#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=100010;
int map[N],a[N],b[N];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		map[a[i]]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&b[i]);
		b[i]=map[b[i]];
	}
	vector<int>stk;
	
	stk.push_back(b[1]);
	
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(b[i]>stk.back())
		{
			stk.push_back(b[i]);
		}else
		{
			*lower_bound(stk.begin(),stk.end(),b[i])=b[i];
		}
	}
	cout<<stk.size()<<endl;
	return 0;
}