「噓月」

摘要： 例3 设 \(f(x, y) = \begin{cases}\dfrac{x ^ 5}{(y - x ^ 2)^2 + x ^ 6}& x ^ 2 + y ^ 2 \neq 0 \\ 0& x^2 + y^2 = 0\end{cases}\)，求： \((1)\) 使方向导数 \(\dfrac{\p 阅读全文

摘要： 例7 设 \(z = f(x, y)\) 满足 \(\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin y + \frac{1}{1 - xy}\)，且有 \(f(1, y) = \sin y\)，讨论 \(f(x, y)\) 在点 \((1, 1)\) 处的连续性。 sol 阅读全文

摘要： 例2 设函数 \(f(x)\in C[a, b]\cap D(a, b)\)，其中 \(a > 0\)，且 \(f(a) = 0\). 证明 \(\exist \xi\in (a, b)\)，使得： \[f(\xi) = \frac{b - \xi}{a} f'(\xi) \] proof 首先要对 阅读全文

摘要： 二项级数展开的应用 反正弦函数 \(y = \arcsin x\)，先求一阶导 \(y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x ^ 2}}\). 对 \(y'\) 进行二项级数展开： \[y' = (1 - x ^ 2) ^ {-\frac{1}{2}} = \sum\limits_{n = 阅读全文

摘要： 例5 设 \(f(x)\) 在 \((-\delta, \delta)\) 上有定义，对任何 \(x, y\in (-\delta, \delta)\)，恒有 \(f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x) f(y)}\). 又 \(f(x)\) 在点 \(x=0\ 阅读全文

摘要： 例5 设 \(f\) 在 \((a, b)\) 内每一点处的左、右极限都存在，又 \(\forall x, y \in (a, b)\)，有： \[f\left(\frac{x + y}{2}\right) \le \frac{1}{2}[f(x) + f(y)] \]证明 \(f\) 在 \((a 阅读全文

摘要： Score(73/100) T4(0/15) \(\{a_k\},\{b_k\}\) 为正项数列，\(b_{k + 1} - b_k \ge \delta > 0\). 若 \(\sum\limits_{k = 1} ^ {+\infty} a_k\) 收敛，证明： \[\sum\limits_{k 阅读全文

摘要： T3 计算极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = 0} ^ n (-1) ^ k {n\choose k} \sqrt{x ^ 2 + k}\). solution(2025.8.18) \[I = \lim\limits_{ 阅读全文

摘要： 例5. 试确定 \(a, b, c\) 的值，使极限等式 \(\lim\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{a(x-1)^2+b(x-1)+c-\sqrt{x^2+3}}{(x-1)^2} = 0\) 成立。 solution 等价于分子是 \(o((x - 1) ^ 2) 阅读全文

摘要： 例2. 设 \(f(x) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^n + \left(\dfrac{x^2}{2}\right)^n}(x>0)\)，求 \(f(x)\) 的显式表达式。 结论：\(a_i > 0(i = 1, 2, .. 阅读全文