题解： Minimum OR is X

Problem Statement

给定三个正整数 \(N, M, K\) 和非负整数 \(X\) 。

求出有多少个满足以下条件的长为 \(N\) 的非负整数列 \(A = (A_1, A_2, \cdots, A_N)\) 个数，答案对 \(\rm 998244353\) 取模：

• \(0\le A_i \le 2 ^ M - 1\ (1\le i\le N)\)
• 数列 \(A\) 中任意选择 \(K\) 个位置 \(i_1, i_2, \cdots, i_K \ (i_a\neq i_b)\) ，满足 \(\min\{A_{i_1}\oplus A_{i_2}\oplus\cdots\oplus A_{i_K}\} = X\) 。

其中 \(\oplus\) 运算代表 C++ 中的按位或运算。

Constraints

\(1\le N, M\le 200\) ，\(1\le K \le N\) ，\(0\le X\le 2 ^ M - 1\) ，\(X\) 以二进制字符串的形式给出。

solution

从高到低按位贪心，发现对于每一层，如果有 \(\ge K\) 个 0 那么这一位必定为 0 ，否则为 1 。

那么贪心取 0 的时候，那么所有该层为 1 的元素都不能取了，所以在考虑下面层的时候，这些元素就不能考虑了。

对于这个过程设计一个 DP ，设 \(f(i, j)\) 表示从高到低到第 \(i\) 位，还有 \(j\) 个元素能取的方案数。

对于贪心的方案，设计两种转移:

• \(X\) 该位为 0 ，设 \(k\) 为该层 1 的个数。
• • \(f(i, j) \leftarrow \displaystyle\sum_{k = 0} ^ {n - K} f(i + 1, j + k) \times \dbinom{j + k}{j} \times 2 ^ {k(i - 1)}\)
• \(X\) 该位为 1 ，设 \(k\) 为该层 0 的个数。
• • \(f(i, j) \leftarrow f(i + 1, j) \times \displaystyle{\sum_{k = 0} ^ {K - 1}}\dbinom{j}{k}\)

答案就是 \(\sum f(0, i)\) 。

Mint fac[N << 1], ifac[N << 1];
inline void table(int lim) {
	fac[0] = Mint(1);
	forn (i, 1, lim) fac[i] = fac[i - 1] * Mint(i);
	ifac[lim] = q_pow(fac[lim]);
	form (i, lim - 1, 0) ifac[i] = ifac[i + 1] * Mint(i + 1);
}
inline Mint C(int n, int r) {
	if (n < 0 || r < 0 || n < r) return Mint(0);
	return fac[n] * ifac[r] * ifac[n - r];
}
int n, m, K; char X[N]; Mint f[N][N];
inline void solve() {
	Rdn(n, m, K); Rdn(X); table(max(n, m) << 1);
	reverse(X, X + m);
	f[m][n] = Mint(1);
	form (i, m - 1, 0) forn (j, 0, n) {
		if (X[i] == '0') {
			if (j >= K) forn (k, 0, n - K) if (j + k <= n) {
				f[i][j] += f[i + 1][j + k] * C(j + k, k) * q_pow(Mint(2), k * i);
			}
		} else {
			forn (k, 0, K - 1) f[i][j] += f[i + 1][j] * C(j, k);
		}
	}
	Mint res(0);
	forn (i, 0, n) res += f[0][i];
	Wtn(res.res, '\n');
}