题解：「Ynoi2009」rprsvq
Y n o i 数 数 题
先化一下单次方差的式子：
\[\begin{align}
&\frac{\sum a_i^2 - 2\sum a_i \cdot \bar{a} + \sum\bar{a}^2}{n}&\\
=&\frac{1}{n}\sum a_i^2 - \frac{2}{n} \sum a_i \bar{a} + \bar{a}^2&\\
=&\frac{1}{n}\sum a_i^2 - \frac{1}{n^2} \left(\sum a_i\right)^2&\\
\end{align}
\]
用 \(S\) 表示一个下标集合，这样答案就可以表示成：
\[\sum_{S\in \{1,2,3,\dots,n\}} \frac{1}{|S|}\left(\sum_{i\in S} a_i^2\right) - \frac{1}{|S|}\left(\sum_{i\in S} a_i\right) ^ 2
\]
先搞前面的式子，考虑枚举集合大小 \(k\) 和每个元素的贡献，计数的时候可以用钦定法解决，可以得到：
\[\begin{align}
&\sum_k \frac{1}{k} {n - 1\choose k - 1} \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
=&\sum_k \frac{1}{k} \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
=&\frac{1}{n} \sum_k {n\choose k} \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
=&\frac{2^n - 1}{n} \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
\end{align}
\]
再搞后面的式子，先把平方写成 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i a_j\) ，对于 \(i=j\) 和 \(i\neq j\) 的情况分类讨论算贡献。
- \(i = j\)
\[\begin{align}
&\sum_k \frac{1}{k^2} {n - 1 \choose k - 1} \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
=&\sum_k \frac{1}{k^2} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
=&\frac{1}{n} \sum_k \frac{1}{k} \frac{n!}{k!(n - k)!} \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
=&\frac{1}{n} f(n) \cdot \sum_{i=1}^n a_i^2&\\
\end{align}
\]
其中 \(f(n) = \sum_k \frac{1}{k} {n \choose k}\) .
考虑预处理，考虑差分：
\[\begin{align}
f(n) - f(n - 1) =& \frac{1}{n}\cdot {n\choose n} + \sum_{i=1}^{n - 1} \frac{1}{k} \cdot \left({n \choose k} - {n \choose k - 1}\right)&\\
=& \frac{1}{n} + \sum_{i=1}^{n - 1} \frac{1}{k} {n - 1\choose k - 1}&\\
=& \frac{1}{n} + \frac{2^n - 2}{n}&\\
=& \frac{2^n - 1}{n}&\\
\end{align}
\]
- \(i\neq j\)
\[\begin{align}
&\sum_k \frac{1}{k^2} {n - 2\choose k - 2} \left(\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) ^ 2 - \sum_{i=1}^n a_i^2\right)&\\
=&\sum_k \frac{1}{k^2} \frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}\left(\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) ^ 2 - \sum_{i=1}^n a_i^2\right)&\\
=&\frac{1}{n\cdot (n - 1)} \sum_k \frac{k - 1}{k} \frac{n!}{k!(n - k)!}\left(\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) ^ 2 - \sum_{i=1}^n a_i^2\right)&\\
=&\frac{1}{n\cdot (n - 1)} \sum_k \left({n\choose k} - \frac{{n\choose k}}{k}\right) \left(\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) ^ 2 - \sum_{i=1}^n a_i^2\right)&\\
=&\frac{2 ^ n - 1 - f(n)}{n\cdot (n - 1)}\left(\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) ^ 2 - \sum_{i=1}^n a_i^2\right)&\\
\end{align}
\]
然后用线段树维护一下 \(F = \sum_{i=l}^r a_i\) 和 \(G = \sum_{i=l}^r a_i^2\) .
答案就是：
\[\frac{2^n - 1}{n} F - \frac{F\cdot f(len)}{len} - \frac{2^n - 1 - f(len)}{len\cdot (len - 1)} (G^2 - F)
\]
时间复杂度 \(\mathcal{O}(m\log n)\) .
