题解：「SNOI2017」礼物

题面

本文记录一种递推优化套路。

可以发现，若将答案表示成 \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i i^k\) 的形式时，系数 \(\alpha_i\) 满足以下性质。

\[\alpha_i = 1 + 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-i-2} \]

所以求得:

\[\begin{cases} \ \alpha_n = \displaystyle{1} & \\ \ \alpha_i = \displaystyle{2^{n-i-1}} & i\neq n\\ \end{cases} \]

所以题目转化为求式子 \(n^k + \sum_{i=1}^{n-1} 2^{n-i-1} i^k\) 的值。

先转换式子成：

\[n^k + 2^{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{i^k}{2^i} \]

发现瓶颈在于如何快速求解 \(\mathcal{O}(n)\) 求和式 \(F_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^k}{2^i}\) 。

为了方便，以下部分默认设 \(t=\frac{1}{2}\) 。

这里用到了一种倍增的方法解题，具体的说，就是通过求解 \(F_{n+1}\) ， \(F_{2n}\) ，并利用其与 \(F_n\) 之间的关系进行快速运算。

先处理 \(F_{n+1}\) 与 \(F_n\) 之间的关系。

\[F_{n+1} = F_n + t^{n+1} (n+1)^k \]

再处理 \(F_{2n}\) 与 \(F_n\) 。

\[\begin{aligned} F_{2n} - F_{n} & = \sum_{i=n+1}^{2n} t^i i^k \\ & = t^n \sum_{i=1}^{n} t^i (i+n)^k \\ & = t^n \sum_{i=1}^{n} t^i \sum_{j=0}^{k} {k \choose j} i^{k-j}n^j \\ & = t^n \sum_{j=0}^{k} {k\choose j} n^j \sum_{i=1}^n t^i i^{k-j} \\ \end{aligned}\]

(所用芝士：二项式定理，求和顺序变换)

终于推出了与 \(F\) 定义式相似的式子 \(\sum_{i=1}^n t^i i^{k-j}\) ，由于 \(k\) 很小，不妨拓展 \(F\) 的定义。

设 \(F(n, k) = \sum_{i=1}^n t^i i^k\) ，得出倍增递推式：

\[\begin{cases} \ F(n+1, k) = F(n, k) + t^{n+1} (n+1)^k \\ \ F(2n, k) = F(n, k) + t^n \sum_{j=0}^{k} {k \choose j} n^j F(n, k-j) \\ \end{cases}\]

可以用记忆化搜索解决，用 std::map 维护 \(F\) 数组。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(k\log n \log (k \log n))\)

Code(C++):

#include<bits/stdc++.h>
#define forn(i,s,t) for(register int i=(s);i<=(t);++i)
#define form(i,s,t) for(register int i=(s);i>=(t);--i)
#define mkp make_pair
typedef long long LL;
using namespace std;
const int Mod = 1e9+7, T = Mod+1 >> 1, M = 11;
LL fac[M], inv[M];
inline LL Q_pow(LL p, LL k) {
	LL Ans = 1; p = p%Mod;
	while(k) {if(k & 1) Ans = Ans * p %Mod; p = p*p %Mod, k >>= 1;}
	return Ans;
}
/*-------预处理 O(1) 组合数----------*/
inline void init(int k) {
	fac[0] = fac[1] = inv[0] = 1;
	forn(i,2,k) fac[i] = fac[i-1] * 1ll * i %Mod;
	inv[k] = Q_pow(fac[k], Mod - 2);
	form(i,k-1,1) inv[i] = inv[i+1] * 1ll * (i+1) %Mod;
}
inline LL C(int n, int m) {return fac[n] * (inv[m] * inv[n - m] %Mod) %Mod;}
map<pair<LL, int>, int> f;
int F(LL n, int k) {
	if(n == 1) return T;
	if(n == 0) return 0;
	if(f.count(mkp(n, k))) return f[mkp(n, k)];
	if(n & 1) return f[mkp(n, k)] = (1ll * F(n-1, k) + Q_pow(1ll*T, n) * Q_pow(n, k) %Mod) %Mod;
	else {
		LL m = n/2, res = 0;
		forn(j,0,k) res = (res + C(k, j) * Q_pow(m, j)%Mod * 1ll * F(m, k-j) %Mod) %Mod;
		return f[mkp(n, k)] = (F(m, k) + res * Q_pow(T, m) %Mod) %Mod;
	}
}
LL n; int k;
int main() {
	scanf("%lld%d", &n, &k);
	init(k);
	printf("%lld\n", (Q_pow(n, k) + Q_pow(2ll, n-1) * 1ll * F(n-1, k)) %Mod);
	return 0;
}