题解：CF1473 E. Minimum Path
Translation
有一条路径上共有 \(k\) 条边，第 \(i\) 条边边权为 \(w_i\) ，定义该路径权值为 \(\sum\limits_{i=1}^{k}{w_i} - \max\limits_{i=1}^{k}{w_i} + \min\limits_{i=1}^{k}{w_i}\) ，给一张 \(n\) 条边， \(m\) 条边的无向连通图，求从 \(1\) 号点到 \(i(2\leq i \leq n)\) 号点路径权值的最小值。
Solution
容易发现对于一条路径而言，该式子的含义就是将最大的一条边权改成 0 ，将最小的一条边权翻成两倍。
再进一步思考，若是把式子改为 \(\sum\limits_{i=1}^{k}{w_i} - w_p + w_q\) ，其中 \(p\) , \(q\) 是任意两条边，那么要求的答案就是改完后的式子的最小值。
发现有两步特殊操作，一步是将一个边权减一，另一步是将一个边权翻倍。
可以使用分层图跑最短路解决。
发现两步操作没有先后顺序，所以要开 4 层图，第 1 层放原图，第 2 层放已经有被清零的边权的图，第 3 层放已经有翻倍边权的图，最后一层就是答案。
对于一个点 \(p\) ，约定在第 \(i\) 层的序号表示为 \(p+(i-1)\times n\)
具体连边操作(对于一条 \(u \longrightarrow v\) ，权值为 \(w\) 的原图边)：
\(u \longrightarrow v\) 边权为 \(w\)
\(u \longrightarrow v+n\) 边权为 \(0\)
\(u \longrightarrow v+n\times 2\) 边权为 \(w\times 2\)
\(u \longrightarrow v+n\times 3\) 边权为 \(w\) (路径上边数为 1 的特殊情况)
\(u+n \longrightarrow v+n\) 边权为 \(w\)
\(u+n \longrightarrow v+n\times 3\) 边权为 \(w\times 2\)
\(u+n\times 2 \longrightarrow v\times 2\) 边权为 \(w\)
\(u+n\times 2 \longrightarrow v\times 3\) 边权为 \(0\)
\(u+n\times 3 \longrightarrow v\times 3\) 边权为 \(w\)
Code(C++):
// E. Minimum Path
#include<bits/stdc++.h>
#define forn(i,s,t) for(register int i=(s);i<=(t);++i)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 8e5+3, M = 1e7+3;
struct List{int dir, nxt; LL lng;} E[M];
int G[N];
inline void Add(int u, int v, LL w) {
static int cnt;
E[++cnt] = (List){v, G[u], w}; G[u] = cnt;
}
int n, m; LL dis[N];
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
forn(i,1,m) {
static int u, v; static LL w;
scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
Add(u, v, w), Add(v, u, w);
Add(u, v+n, 0), Add(v, u+n, 0);
Add(u, v+n*2, w<<1), Add(v, u+n*2, w<<1);
Add(u, v+n*3, w), Add(v, u+n*3, w);
Add(u+n, v+n, w), Add(v+n, u+n, w);
Add(u+n, v+n*3, w<<1), Add(v+n, u+n*3, w<<1);
Add(u+2*n, v+2*n, w), Add(v+2*n, u+2*n, w);
Add(u+2*n, v+3*n, 0), Add(v+2*n, u+3*n, 0);
Add(u+3*n, v+3*n, w), Add(v+3*n, u+3*n, w);
}
memset(dis, -1, sizeof dis);
static priority_queue<pair<LL, int> > q;
q.push(make_pair(0ll, 1));
while(!q.empty()) {
static int u;
u = q.top().second;
if(dis[u] != -1) {q.pop(); continue ;}
dis[u] = - q.top().first; q.pop();
for(int i=G[u];i;i=E[i].nxt)
if(dis[E[i].dir] == -1)
q.push(make_pair(-dis[u]-E[i].lng, E[i].dir));
}
forn(i,2,n) printf("%lld ", dis[i + 3*n]);
return 0;
}
Edu Round 的质量很高，但是不会网络流和 FFT ，这场的 F 、 G 只能以后再补了。。。
