题解：[BJOI2018]治疗之雨
前置芝士： 随机游走模型
给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图，某位同志想从 \(s\) 号节点走到 \(t\) 号节点，每一个节点走向另一个相连的节点有一定概率，求期望步数
设 \(f_i\) 表示为从 \(i\) 节点到 \(t\) 节点的期望步数，\(p_{i,j}\) 表示从节点 \(i\) 到节点 \(j\) 的概率
列出方程组：
高斯消元 \(\mathcal{O}(n^3)\) 求解即可
例题 [HNOI2013]游走
Solution
拿到题目，发现每一状态前后都能转移到，无法进行 DP
可以建立随机游走模型，有 \(n+1\) 个点，表示当前血量为 0-n ，每个点有一个状态 \(E_i\)
对于每一个状态 \(E_i\) 表示第一个数的数值大小为 \(i\) 时到达最小值 \(0\) 的期望步数
对于每一轮，要么受到减去 \(a\in [0,k]\) ，要么加一，所以只存在向左和向右一个数值的边
设 \(f_i\) 表示 \(k\) 次伤害，受到 \(i\) 点伤害的概率
根据二项式分布有
\(f_i = {k \choose i} \times (\frac{1}{m+1})^i \times (\frac{m}{m+1})^{k-i}\)
拆开组合数得
\(f_i = \frac{k!}{k!(k-i)!}\times (\frac{1}{m+1})^i \times (\frac{m}{m+1})^{k-i}\)
这个式子是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，达标
先分类讨论
-
从 \(i\) 点血量到 \(j(j < i)\) 点血量的概率为 \(\frac{1}{m+1} f_{i-j}+\frac{m}{m+1}f_{i-j+1}\)
-
从 \(i\) 点血量到 \(i+1\) 点血量的概率为 \(\frac{1}{m+1}f_0\)
-
从 \(n\) 点血量不可有到 \(n+1\) 的可能性，任意点转来概率都为 \(f_{i-j}\)
参照模型中的板子，列出方程组
\(n\leq 1500\) , \(\mathcal{O}(n^3)\) 的高斯消元过不去
但这里的方程矩阵有一个性质: (1表示有值，0表示无值)
发现消到第 \(i\) 行时，将第 \(i\) 列消为 \(1\) (数值上真正的1) 将这第 \(i\) 列的以下所有行上的元素消成 \(0\)
最终会得到一个形如下图的矩阵
此时 \(E_n\) 已经求出来了，只要从下往上进行回代即可，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)，达标
最终答案即为 \(E_p\)
Code(C++):
#include<bits/stdc++.h>
#define forn(i,s,t) for(int i=(s);i<=(t);++i)
#define form(i,s,t) for(int i=(s);i>=(t);--i)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1503,Mod = 1e9+7;
inline LL q_pow(LL p,int k) { // 快速幂
LL Ans = 1;
while(k) (k&1 ? Ans=Ans*p%Mod:0),p=p*p%Mod,k>>=1;
return Ans;
}
int T,n,p;LL m,k,Ans,G[N][N],f[N],fac[N];
inline void init() {Ans = 0;forn(i,1,min((LL)n+1,k))f[i]=0;forn(i,1,n)forn(j,1,n+1)G[i][j]=0;} // 初始化
inline int work() {
scanf("%d%d%lld%lld",&n,&p,&m,&k);
if(!k) return puts("-1"),0;
if(!m) if(k == 1) return puts("-1"),0;
else {while(p>0) (p<n?p++:0),p-=k,++Ans;return printf("%lld\n",Ans),0;} //以上为特殊情况
LL inv=q_pow(m+1,Mod-2),invm=q_pow(m,Mod-2);
f[0] = q_pow(m*inv%Mod,k);
forn(i,1,min((LL)n+1,k)) f[i] = f[i-1]*invm%Mod*q_pow(i,Mod-2)%Mod*(k-i+1)%Mod; // 线性求f数组
forn(i,1,n-1) forn(j,1,i) G[i][j]=(f[i-j]*m+f[i-j+1])%Mod*inv%Mod;
forn(i,1,n-1) G[i][i] = (G[i][i]+Mod-1)%Mod,G[i][i+1]=f[0]*inv%Mod;
forn(i,1,n) G[i][n+1] = Mod-1;
forn(i,1,n) G[n][i] = f[n-i]; G[n][n] = (G[n][n]+Mod-1)%Mod; // 以上为列方程
forn(i,1,n) {
inv = q_pow(G[i][i],Mod-2),G[i][i]=1,G[i][n+1]=G[i][n+1]*inv%Mod;
if(i!=n) G[i][i+1] = G[i][i+1]*inv%Mod;
forn(j,i+1,n) {
G[j][i+1] = (G[j][i+1]-G[j][i]*G[i][i+1]%Mod+Mod)%Mod;
G[j][n+1] = (G[j][n+1]-G[j][i]*G[i][n+1]%Mod+Mod)%Mod;
G[j][i] = 0;
}
} // 消元具体过程
form(i,n,2) G[i-1][n+1]=(G[i-1][n+1]-G[i-1][i]*G[i][n+1]%Mod+Mod)%Mod,
G[i-1][i] = 0; // 回代过程
printf("%lld\n",G[p][n+1]);
return 0;
}
int main() {
scanf("%d",&T);
while(T--) init(),work();
return 0;
}
