题解：Luogu P2051 [AHOI2009]中国象棋
题意翻译：
在 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵中放若干的点，使得每行每列的总点数小于或等于 \(2\) 。
填表法 DP :
考虑一行一行填表，对每一列状态进行分析
如「题意翻译」中所述，每一列只有三种合法状态，即放了 \(1\) 个， \(2\) 个或者 \(0\) 个点
这样就能写出状态：
\(f(i,j,k,l)\) 表示填了 \(i\) 行且有 \(j\) 列填有 \(1\) 个点， \(k\) 列填有 \(2\) 个点， \(l\) 列填有 \(0\) 个点时的方案数
显然，\(\because l=m-j-k\) ， \(l\) 这一行可以舍去，空间复杂度达标
接下来就是状态转移方程了，因为每行只能放 \(0,1,2\) 个点，且每个点只能放在已经放 1 或 0 个点的列上，我们进行分类讨论
- 放 \(0\) 个点
\[f(i,j,k) \gets f(i,j,k)+f(i-1,j,k)
\]
- 放 \(1\) 个点
- 放在已经放了一个点的列上
\[f(i,j,k) \gets f(i,j,k) + f(i-1,j+1,k-1) \times (j+1)
\]
- 放在没有放任何点的列上
\[f(i,j,k) \gets f(i,j,k) + f(i-1,j-1,k) \times (m-(j-1)-k)
\]
- 放 \(2\) 个点
- 一个点放在已经放一个点的列上，另一个点放在没有放任何点的列上
\[f(i,j,k) \gets f(i,j,k) + f(i-1,j,k-1) \times j \times (m-(j-1)-k)
\]
- 两个点都放在已经放了一个点的列上
\[f(i,j,k) \gets f(i,j,k) + f(i-1,j+2,k-2) \times {j+2 \choose 2}
\]
- 两个点都放在没有放任何点的列上
\[f(i,j,k) \gets f(i,j,k) + f(i-1,j-2,k) \times {m-(j-2)-k \choose 2}
\]
所有情况讨论完毕
\(\operatorname{code}\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 120,P = 9999973;
int n,m;
long long f[N][N][N],ans;
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
f[0][0][0] = 1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=m;++j)
for(int k=0;k<=m-j;++k) {
f[i][j][k] = f[i-1][j][k];
if(k) f[i][j][k] += f[i-1][j+1][k-1]*(j+1);
if(j) f[i][j][k] += f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1);
if(k) f[i][j][k] += f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1);
if(j>=2) f[i][j][k] += f[i-1][j-2][k]*(m-j-k+2)*(m-j-k+1)/2;
if(k>=2) f[i][j][k] += f[i-1][j+2][k-2]*(j+2)*(j+1)/2;
f[i][j][k] %= P;
}
for(int i=0;i<=m;++i)
for(int j=0;j<=m-i;++j) ans = (ans+f[n][i][j]) %P;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
tips: 若您是初小学生 \(\operatorname{C}_n^2\) 可看成 \(\frac{n\times(n-1)}{2}\)
从 \(n\) 个点中选 \(2\) 个点，第一次有 \(n\) 个可能情况，第二次有 \(n-1\) 个可能情况，此时 \((a,b)\) \((b,a)\) 均被考虑，所以是 \(\frac{n\times(n-1)}{2}\)
