12届蓝桥杯省赛-砝码称重

前言：

　　在这一篇文章中，我们主要介绍“砝码称重”这道题的解法

正文：

一、题干：

【问题描述】

　　你有一架天平和 N 个砝码，这 N 个砝码重量依次是 W1,W2,...,WN。

　　请你计算一共可以称出多少种不同的正整数重量？

　　注意砝码可以放在天平两边。

【输入格式】

　　输入的第一行包含一个整数 N。

　　第二行包含 N 个整数：W1,W2,W3,...,WN。

【输出格式】

　　输出一个整数代表答案。

【样例输入】

　　1 4 6

【输出样例】

【样例说明】

　　能称出的 10 种重量是：1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。

　　1 = 1；

　　2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；

　　3 = 4 − 1；

　　4 = 4；

　　5 = 6 − 1；

　　6 = 6；

　　7 = 1 + 6；

　　9 = 4 + 6 − 1；

　　10 = 4 + 6；

　　11 = 1 + 4 + 6。

【评测用例规模与约定】

　　对于 50% 的评测用例，1≤N≤15。

　　对于所有评测用例，1≤N≤100，N 个砝码总重不超过 100000。

二、思路：

　　这道题中，可以发现放入第一个砝码的时候，只能称出一个值，放入第二个砝码的时候，可以只放第二个砝码称出一个值，可以把第一个放左边第二个放右边称出一个值，可以把第一个放右边边第二个放左边又称出一个值。而第三个砝码出现的时候，我们可以根据之前得到的值加上砝码来得到新的值。总而言之，就是动态规划。

　　这样题目就化简为了如何用旧的值推出新的值，我们用一个一维数组来存储可以表示出的值，对每一个新的值引入的时候，我们做以下操作来推出新的值（设旧的值为j，新的值为a，数组名为b）

　　b[j+a]=1;（将j和a看作砝码的话，就是j和a都放右边（左物右码））

　　b[j-a]=1;（将j和a看作砝码的话，就是j放右边a放左边）

　　b[a-j]=1;（将j和a看作砝码的话，就是j放左边a放右边）

　　只不过这样子会放出负数，而数据范围说了砝码总重不超过100000，所以最后操作的时候我们要把所有值都加100000防止访问到负数。

　　以题中所给的样例为例进行演算：

　　放入一个砝码重量为1时（w为可以称出的重量）：

　　w=1；

　　放入二个砝码重量为1，4时：

　　w=1+4=5；（用w=1来求）

　　w=1-4=-3；

　　w=4-1=3；

　　w=4；

　　放入三个砝码重量为1，4，6时：

　　w=1+6=7；（用w=1来求）

　　w=1-6=-5；

　　w=6-1=5；

　　w=5+6=11；（用w=1+4=5来求）

　　w=5-6=-1；

　　w=6-5=1；

　　w=-3+6=3；（用w=1-4=3来求）

　　w=-3-6=-9；

　　w=6-(-3)=9；

　　w=3+6=9；（用w=4-1=3来求）

　　w=3-6=-3；

　　w=6-3=3；

　　w=4+6=10；（用w=4来求）

　　w=4-6=-2；

　　w=6-4=2；

　　w=6；

　　上面所有不重复的正数（也就是标蓝的）数量就是答案：10。

　　思路已经明了，所以程序呼之欲出：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int main(int argc, char const *argv[])
 5 {
 6     int b[200001];//是否被称出，以及是前几个称出的
 7     memset(b,0,sizeof(b));
 8     int n;
 9     cin>>n;
10     int a;
11     for (int i = 1; i <= n; i++)
12     {
13         cin>>a;
14         for (int j = 0; j <= 200000; j++)
15         {
16             if(b[j]!=i&&b[j]!=0)
17             {
18                 if(b[j+a] == 0)b[j+a]=i;
19                 if(b[j-a] == 0)b[j-a]=i;
20                 if(b[200000+a-j] == 0)b[200000+a-j]=i;
21             }
22         }
23         b[a+100000] = i;
24     }
25     int sum = 0;
26     for (int i = 100001; i <= 200000; i++)
27     {
28         if(b[i]!=0)
29         {
30             sum++;
31         }
32     }
33     cout<<sum;
34 
35     return 0;
36 }

其中

 1     for (int i = 1; i <= n; i++)
 2     {
 3         cin>>a;
 4         for (int j = 0; j <= 200000; j++)
 5         {
 6             if(b[j]!=i&&b[j]!=0)
 7             {
 8                 if(b[j+a] == 0)b[j+a]=i;
 9                 if(b[j-a] == 0)b[j-a]=i;
10                 if(b[200000+a-j] == 0)b[200000+a-j]=i;
11             }
12         }
13         b[a+100000] = i;
14     }