拓扑排序

拓扑排序 分类： 图论

一、概述
　　对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。 　通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(TopoiSicai Order)的序列，简称拓扑序列。 注意： 　①若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。 　②若图中存在有向环，则不可能使顶点满足拓扑次序。 　③一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。 　【例】一本书的作者将书本中的各章节学习作为顶点，各章节的先学后修关系作为边，构成一个有向图。按有向图的拓扑次序安排章节，才能保证读者在学习某章节时，其预备知识已在前面的章节里介绍过。 　④一个DAG可能有多个拓扑序列。 　【例】对图G9进行拓扑排序，至少可得到如下的两个(实际远不止两个)拓扑序列：C0，C1，C2，C4，C3，C5，C7，C8，C6和C0，C7，C9，C1，C4，C2，C3，C6，C5。 　　　　　　　　 　　⑤当有向图中存在有向环时，拓扑序列不存在 【例】下面(a)图中的有向环重排后如(b)所示，有向边<v3，vl>和其它边反向。若有向图被用来表示某项工程实施方案或某项工作计划，则找不到该图的拓扑序列(即含有向环)，就意味着该方案或计划是不可行的。 　　　　　　　　 二、无前趋的顶点优先的拓扑排序方法　　
　　该方法的每一步总是输出当前无前趋(即人度为零)的顶点，其抽象算法可描述为： 　　　　NonPreFirstTopSort(G){//优先输出无前趋的顶点 　　　　 while(G中有人度为0的顶点)do{ 　　　　　　从G中选择一个人度为0的顶点v且输出之； 　　　　 　　 从G中删去v及其所有出边； 　　　　 } 　　　　 if(输出的顶点数目<|V(G)|) 　　　　 //若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出，排序成功。 　　　　　　Error("G中存在有向环，排序失败！")； 　　　　 } 注意： 　无前趋的顶点优先的拓扑排序算法在具体存储结构下，为便于考察每个顶点的人度，可保存各顶点当前的人度。为避免每次选入度为0的顶点时扫描整个存储空间，可设一个栈或队列暂存所有入度为零的顶点： 　在开始排序前，扫描对应的存储空间，将人度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选人度为零的顶点时，只需做出栈(队)操作即可。
三、无后继的顶点优先拓扑排序方法　　
1、思想方法 　该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点。对于一个DAG，按此方法输出的序列是逆拓扑次序。因此设置一个栈(或向量)T来保存输出的顶点序列，即可得到拓扑序列。若T是栈，则每当输出顶点时，只需做人栈操作，排序完成时将栈中顶点依次出栈即可得拓扑序列。若T是向量，则将输出的顶点从T[n-1]开始依次从后往前存放，即可保证T中存储的顶点是拓扑序列。 2、抽象算法描述 　　算法的抽象描述为： 　　NonSuccFirstTopSort(G){//优先输出无后继的顶点 　　 while(G中有出度为0的顶点)do { 　　 从G中选一出度为0的顶点v且输出v； 　　 从G中删去v及v的所有人边 　　 } 　　 if(输出的顶点数目<|V(G)|) 　　 Error("G中存在有向环，排序失败!")； 　　 } 3、算法求精 　在对该算法求精时，可用逆邻接表作为G的存储结构。设置一个向量outdegree[0..n-1]或在逆邻接表的顶点表结点中增加1个出度域来保存各顶点当前的出度；设置一个栈或队列来暂存所有出度为零的顶点。除了增加一个栈或向量T来保存输出的顶点序列外，该算法完全类似于NonPreFirstTopSort。
四、利用深度优先遍历对DAG拓扑排序　　
　　当从某顶点v出发的DFS搜索完成时，v的所有后继必定均已被访问过(想像它们均已被删除)，此时的v相当于是无后继的顶点，因此在DFS算法返回之前输出顶点v即可得到 DAG的逆拓扑序列。 　其中第一个输出的顶点必是无后继(出度为0)的顶点，它应是拓扑序列的最后一个顶点。若希望得到的不是逆拓扑序列，同样可增加T来保存输出的顶点。若假设T是栈，并在DFSTraverse算法的开始处将T初始化， 　利用DFS求拓扑序列的抽象算法可描述为： 　　　　void DFSTopSort(G，i，T){ 　　　　//在DisTraverse中调用此算法，i是搜索的出发点，T是栈 　　　　 int j； 　　　　 visited[i]=TRUE； //访问i 　　　　 for(所有i的邻接点j)//即<i，j>∈E(G) 　　　　 if(!visited[j]) 　　　　 DFSTopSort(G，j，T)； 　　　　 //以上语句完全类似于DFS算法 　　　　 Push(&T，i)； //从i出发的搜索已完成，输出i 　　　　 } 　只要将深度优先遍历算法DFSTraverse中对DFS的调用改为对DFSTopSort的调用，即可求得拓扑序列T。其具体算法不难从上述抽象算法求精后得到。 　 若G是一个DAG，则用DFS遍历实现的拓扑排序与NonSuccFirstTopSort算法完全类似；但若C中存在有向环，则前者不能正常工作。
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dfs实现拓扑排序 函数（算法竞赛入门经典）
E(u,v)
int c[maxn];
int topo[maxn],t;
bool dfs(int u)
{
c[u]=-1; //开始访问该顶点
for(int v=0;v<n;v++)
{
if(G[u][v]==1)
{
if(c[v]<0) return false; //c[v]=-1代表正在访问该定点（即递归调用dfs(u)正在帧栈中，尚未返回）
else if(!c[v] && !dfs(v)) return false; //（c[v]==0 && dfs(v)==false即当前顶点没有后即顶点时，
//开始返回 （结束））
}
}
c[u]=1; //访问结束
topo[--t]=u;
return true;
}
bool toposort()
{
t=n;
memset(c,0,sizeof(c));
for(int u=0;u<n;u++)
if(!c[u]) if(!dfs()) return false;
return ture;
}